Трехмерная сфера

Cтраница 3

Объем гиперсферы n - го порядка пропорционален n - й степени ее радиуса. Например, объем трехмерной сферы пропорционален кубу радиуса. [31]

Существует замечательная связь между теорией особых точек плоских алгебраических кривых, с одной стороны, и теорией узлов, зацеплений и кос - с другой. Узлы и зацепления возникают в трехмерной сфере, ограничивающей маленькую окрестность особой точки, при пересечении с ( вещественно двумерной) поверхностью, образованной комплексными точками кривой. [32]

Рассмотрим теперь вместо сферической модели Вселенной так называемую эллиптическую модель. Эта модель получается, если в трехмерной сфере ( в пространстве сферической мбдели) отождествить диаметрально противоположные точки. В этому случае выживает только половина собственных функций замкнутого мира сферической модели. [33]

Разумеется, от одного лишь названия, даже otpaжaющeгo структуру уравнения, пользы было бы мало, если бы понятие четырехмерной сферы не приносило других выгод: основные геометрические свойства трехмерной сферы переносятся ( с соответствующими изменениями и при надлежащем истолковании) на четырехмерную сферу. Например, двумерная плоскость пересекается с трехмерной сферой по окружности. Аналогично трехмерная гиперплоскость ( то есть трехмерная плоскость в четырехмерном пространстве) пересекается с четырехмерной сферой по трехмерной окружности. [34]

В больших размерностях ситуация другая. Монтгомери и Зиппин [1] построили инволюцию / трехмерной сферы, неподвижным множеством которой является дикий узел. Ясно, что f не сопряжена никакому ортогональному преобразованию. [35]

Доказательство то же самое, но суммирование по элементам группы заменяется интегрированием ( по некоторой мере) на группе. Вспомним, что компактная группа SU ( 2) геометрически не отличима от трехмерной сферы 53, и поэтому имеет смысл говорить, например, о ее объеме. Вообще, существует значительный параллелизм в теории представлений конечных и компактных групп, но мы лишены возможности на этом останавливаться. Из примера б, а) § 1 видно, что представления некомпактных групп ( например, G Z) унитарными быть не обязаны. [36]

Аналогично можно говорить о трехмерных сферах большего числа измерений. Однако эти многообразия геометрически нельзя представить обычным образом, поскольку, к примеру, трехмерная сфера не может быть вложена в трехмерное эвклидово пространство R3 подобно тому, как двумерная сфера не может быть вложена в пространство R2 - плоскость. В связи с этим из-за недоступности для геометрической интуиции четырехмерного пространства приходится использовать специальный способ представления трехмерной сферы в трехмерном пространстве. [37]

Пусть М получается склеиванием двух кренделей HI, H - рода 2 по гомеоморфизму h их краев. Так как фактор-пространство каждого кренделя по инволюции г гомео-морфно шару, то фактор-пространство многообразия М является объединением двух шаров, т.е. трехмерной сферой. [38]

Основной целью управления обобщенным маятником Фуко является удержание его на фазовом многообразии г const, k const. В фазовом пространстве переменных ( ж, т /, ж, у) это многообразие представляет собой пересечение трехмерного конуса нулевой квадратуры с трехмерной сферой постоянной амплитуды. [39]

Для одномерного оснащенного подмногообразия трехмерного пространства определены инварианты у и б; оказывается, что б есть вычет, получающийся от приведения по модулю 2 целого числа у. Так как каждое одномерное оснащенное многообразие получается при помощи надстроек из одномерного оснащенного подмногообразия трехмерного пространства ( см. теорему 11), то при классификации отображений сферы Еп 1в сферу Sn при п 3 можно использовать классификацию отображений трехмерной сферы в двумерную. [40]

Задача построения квантовой теории гравитации оказалась математически сложноватой и пока полиостью не решена, но выяснилось, что уже даже при частичном объединении геометрических принципов ОТО и принципов квантовой теории поля ( КТП) открываются принципиально новые физические явления, невозможные в каждой из этих теорий по отдельности. Одним из таких явлений, которое мне посчастливилось открыть еще в 1968 году, является возможность в такой объединенной схеме ОТО КТП спонтанного квантового рождения Вселенной из вакуума - при условии, что наша Вселенная представляет собой топологически замкнутый мир, подобный трехмерной сфере. Я уже знал ранее, что в ОТО замкнутые миры характеризуются замечательным и удивительным на первый взгляд свойством - равенством пулю полной энергии, как и полного заряда, системы. [41]

Существует ли алгоритм, который по поданному на его вход трехмерному многообразию М выясняет, гомеоморфно ли оно стандартной трехмерной сфере. Дело в том, что трехмерная сфера представляет собой в некотором смысле прямую противоположность достаточно большого многообразия, так как все поверхности в ней сжимаемы. [42]

Каустика группы Р - типичная особенность фокального множества поверхности с краем. [43]

При двулистном накрытии SU ( 2) - S0 ( 3) эта группа из 60 вращений накрывается бинарной группой икосаэдра из 120 элементов. Группа SU ( 2) естественно изометрична трехмерной сфере, и 120 элементов бинарной группы образуют набор вершин искомого правильного многогранника в четырехмерном пространстве. [44]

Мы отождествили SU ( 2) топологически с трехмерной сферой. На сфере они образуют концы одного из диаметров. Поэтому SO ( 3) топологически тесть результат склеивания трехмерной сферы по парам противоположных точек. С другой стороны, пары противоположных точек сферы находятся во взаимно однозначном соответствии с прямыми в четырехмерном вещественном пространстве, соединяющими точки пары. [45]

Страницы: 1 2 3 4