Cтраница 4
При т - 1 многообразие дР ( Е8) есть неодносвязная гомологическая трехмерная сфера. [46]
ПТОЛЕМЕЯ ТЕОРЕМА: во всяком выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин его противоположных сторон. Названа по имени Клавдия Птолемея ( 2 в. Рошсаге) и гласящее: любое замкнутое односвязное трехмерное многообразие го-меоморфно трехмерной сфере. [47]
В неевклидовой топологии для того, чтобы не внести особенностей, для всего многообразия требуется более одной системы координат. Может показаться, что при интегрировании по частям будет трудно переходить от одного участка к другому. Кроме того, в простейшем случае замкнутого пространства - многообразии с топологией трехмерной сферы SW - поверхностный интеграл обращается в нуль. По мере того как область интегрирования расширяется, S &) сначала становится все больше и больше, а затем начинает уменьшаться. Ввиду этого, где бы ни фигурировали импульсы, их можно без труда выразить через тензор кривизны Kij с помощью уравнения ( 19), а компоненты Ки при этом выражаются с помощью уравнения ( 18) только через те величины, которые в самом деле предполагается варьировать, - через функции следования и сдвига. [48]
Аналогично можно говорить о трехмерных сферах большего числа измерений. Однако эти многообразия геометрически нельзя представить обычным образом, поскольку, к примеру, трехмерная сфера не может быть вложена в трехмерное эвклидово пространство R3 подобно тому, как двумерная сфера не может быть вложена в пространство R2 - плоскость. В связи с этим из-за недоступности для геометрической интуиции четырехмерного пространства приходится использовать специальный способ представления трехмерной сферы в трехмерном пространстве. [49]
Таким образом, совокупность К всех кватернионов образует алгебраическое тело. Тело К кватернионов содержит поле действительных чисел Z), состоящее из всех кватернионов вида х х1 0 i 0 -; 0 - А. Совокупность G всех кватернионов я, удовлетворяющих условию х 1, образует в силу ( 3) группу по умножению. Множество G есть трехмерная сфера евклидова пространства К. Кватернионы вида хЧ x3j - f - x k называются чисто мнимыми. [50]
Речь идет не о привычной и наглядной сфере, к-рую можно часто наблюдать в обыденной жизни. А Вселенная Эйнштейна представляет собой трехмерную сферу - замкнутое в себе неевклидово трехмерное пространство. [51]
Пусть в концентрационном тетраэдре 1 - 2 - 3 - 4 задано поле нод некоторой реальной системы. Построим с помощью ряда зеркальных отображений относительно граней ( рис. IV3) октаэдр Т, внутри которого автоматически будет получено распространение исходного поля нод. Далее по образцу октаэдра Т построим точно такой же октаэдр Т с таким же векторным полем нод внутри. В результате, как пояснено ранее, получим трехмерное замкнутое многообразие S3 ( гомеоморфное трехмерной сфере), внутри которого задано векторное поле. [52]