Cтраница 4
Таким образом, неявная схема Эйлера устойчива при любых значениях Ат, или безусловно устойчива. Явная схема устойчива лишь при выполнении ограничения на значение шага (1.42), или условно устойчива. При попытках проводить расчеты с шагами Ат, превышающими предельно допустимые из условия устойчивости значения, происходит раскачка ( разболтка) разностного решения, приводящая к абсурдным числовым результатам или даже к машинному останову из-за переполнения разрядной сетки. [46]
Она фактически представляет собой двукратную неявную схему для одномерного уравнения теплопроводности: на первом этапе находятся вспомогательные значения йц, на втором - искомые значения сеточной функции u lj, Получающиеся системы уравнений имеют трехдиагональные матрицы и могут быть решены с помощью метода прогонки. [47]
Итак, в неявной схеме на каждом горизонтальном временном слое решается линейная система Ах1 Ь; для нахождения значений / во внутренних узлах слоя. Ясно, что здесь на каждом шаге вычислений гораздо больше, чем в явной схеме. [48]
Точность расчета по неявным схемам практически такая же, как и по схеме уголок. Вычитание части аппроксимационной вязкости, которое проще осуществляется при использовании неявных схем, увеличивает точность расчета основных характеристик. [49]
Для рассматриваемых уравнений неявным схемам следует отдать предпочтение перед явными. Это обусловлено следующими причинами. Значение временного шага определяется требованиями точности и устойчивости. Точность зависит в основном от скорости изменения функций, р ( х, t), q ( x t) во времени. Чем быстрее процесс, тем меньший требуется шаг. Условие устойчивости фактически не зависит от быстроты процесса. Большинство технологических задач требует исследования течений, медленно меняющихся во времени. В таких задачах допустимый шаг по точности значительно превышает допустимый шаг по устойчивости. Ясно, что в этих условиях лучше пользоваться неявными схемами. Однако нельзя забывать, что уравнение (1.20) плохо описывает аварийные течения. Явная схема (1.54) при а 0 была использована на ЦВМ с быстродействием 5000 операций в 1 с. Это безусловно, неприемлемо для оперативных расчетов. [50]
Расчет же по неявной схеме при любом Дт дает решение, правильно отражающее качественный характер изменения температуры. [51]
Такая схема называется неявной схемой или схемой с опережением. [52]
От таких недостатков свободны неявные схемы, в которых увеличение / достигается за счет того, что на каждом временном шаге приходится решать систему уравнений. При этом в случае одной пространственной переменной решение достигается небольшим числом операций благодаря трехдиагональному виду матрицы этой системы. [53]