Cтраница 3
При этом желательно использование полностью консервативных разностных схем, которые вследствие согласованной аппроксимации отдельных уравнений сводят к минимуму влияние дисбалансных членов. Впервые полностью консервативная схема применительно к задачам многофазной фильтрации была построена Б.В. Шалимовым для модели Маскета-Мереса. [31]
Неявные полностью консервативные схемы (1.2) с а 0 5 безусловно устойчивы. Однако в этом случае разрешить получающуюся систему уравнений явным образом уже но удается. Разностные уравнения являются здесь нелинейными, поэтому для их решения приходится прибегать к различным итерационным процессам. [32]
Построение полностью консервативных схем для одномерного случая, проведенное в гл. II, выполнено на основе метода весов, с помощью которого подбиралась нужная интерполяция по времени правых пастей разностных уравнений газодинамики, содержащих пространственные производные. В двумерном случае помимо этого большую роль играет также правильный подбор пространственной интерполяции сеточных функций. [33]
Двумерные расчеты, приведенные выше, носят иллюстративный характер. В работах [6, 16, 19, 20, 23] полностью консервативные схемы были применены для расчета сложных задач магнитной гидродинамики, имеющих практически и интерес, и также продемонстрировали спою эффективность. [34]
Имеется много близких к ним алгоритмов, отличающихся деталями написания отдельных членов разностных схем или другой организацией итерационных процессов решения нелинейных разностных уравнений. Из них следует отметить полностью консервативные схемы, в которых автоматически выполняются разностные законы сохранения не только массы, импульса и полной энергии, но также законы сохранения энтропии и внутренней энергии. [35]
Это соотношение зависит лишь от способа разностной записи газодинамических членов, а они взяты из гл. II, где построены полностью консервативные схемы для газодинамики, обладающие таким свойством. [36]
Как уже отмечалось, основная трудность решения таких задач заключается в построении достаточно эффективных алгоритмов раздельного определения давления, насыщенности и концентраций в пределах каждого временного слоя при удовлетворении условия полной консервативности разностной схемы. Известно, что использование не полностью консервативных схем в результате несогласованной аппроксимации отдельных уравнений усиливает влияние дисба-лансных членов. На реальных сетках при решении задач с разрывными распределениями искомых переменных, быстро и сильно изменяющимися во времени и пространстве функциями такие разностные схемы из-за наличия в них фиктивных источников либо энергии, либо масс компонентов могут существенно исказить результаты расчетов. [37]
Выбор других аппроксимаций по координате 6 будет нарушать энергетическое тождество или закон изменения кинетической энергии дискретной системы, что при расчетах с большим числом шагов по времени может существенно исказить результаты. Использование энергетически согласованных аппроксимаций или полностью консервативных схем позволяет получать близкие к физическим численные результаты даже на крупных или грубых сетках и длительных временах моделирования динамических процессов деформирования. [38]
Заметим, что в разностной схеме капиллярное давление и диффузионные члены аппроксимированы явно. В таких случаях необходимо построить полностью консервативную схему с неявной аппроксимацией вторых производных по насыщенности и концентрации в направлении вертикальной координаты. Это нетрудно осуществить описанным выше способом. [39]
Выше для одномерного случая было показано, что полностью консервативные схемы формально удовлетворяют преобразованиям эквивалентности, аналогичным тем, которые имеют место для дифференциального случая. [40]
Второй параграф этой главы посвящен построению численного алгоритма решения уравнений Лагранжа с голономными, а также определенного вида неголономными связями. Специфика уравнений несжимаемой среды позволила получить здесь экономичную полностью консервативную схему, для реализации которой, в отличие скажем от полностью консервативных схем в газовой динамике, не требуются итерации по нелинейности. Схема обладает вторым порядком аппроксимации при одном вычислении правой части. Для вычисления множителей Лагранжа на каждом шаге один раз решается система линейных уравнений с матрицей Грама. Приведена геометрическая интерпретация метода и некоторые результаты тестовых расчетов. [41]
Приведенный выше вывод этих уравнений представляется более простым и физически наглядным, чем в оригинале. Если же иметь целью численное моделирование, то построение полностью консервативной схемы для уравнений в виде ( 15) является еще одной самостоятельной и нетривиальной задачей. Здесь же обычная для численного моделирования цепочка сильно сокращена, т.е. сразу получена дискретная численная модель, минуя вывод дифференциальных уравнений. [42]
Сформулированный первоначально для одномерных задач газовой динамики п магнитной гидродинамики в лагранжевых массовых переменных принцип полной консервативности был затем распространен на другие классы задач. Так в работах [22, 23, 97] предложен вариационно-разностный подход к построению двумерных полностью консервативных схем для уравнений газодинамики и магнитной гидродинамики. [43]
Итак, в качестве теста для сравнения классических консервативных и полностью консервативных схем следует взять задачу с переменными во времени краевыми условиями. [44]
Используем полученные выше энергетические разностные соотношения для исследования устойчивости семейства полностью консервативных схем, которые были построены в гл. Напомним, что в семействе (4.2), представляющем разностный аналог уравнений акустики, этим схемам соответствуют значения J 0 5, а - свободный параметр. [45]