Cтраница 4
Ясно при этом, что для суммируемости простой функции необходимо, чтобы каждое отличное от нуля значение она принимала только на множестве конечной меры. Действительно, если ( Y) oo, то из равномерной сходимости последовательности простых суммируемых функций ф не следует, вообще говоря, сходимость последовательности их интегралов ( приведите пример. [46]
Этот пункт имеет вспомогательный характер. Мы рассмотрим в нем важные для дальнейшего вопросы, связанные с равномерной сходимостью последовательностей и рядов аналитических функций. [47]
Такая сходимость называется равномерной сходимостью последовательности функций. Таким образом, доказано, что сходимость по норме пространства М есть равномерная сходимость последовательности функций. [48]
Учитывая симметрию / - /, можно ввести метрику в пространство 0 ( А), приняв за расстояние между двумя любыми элементами flt / 2 величину / 2 - / J. В пространстве i.0 ( А) сходимость в себе последовательности / равносильна равномерной сходимости последовательности fn ( x) на множестве Л; в любом курсе математического анализа доказывается существование непрерывной предельной функции / ( х) для такой последовательности. [49]