Cтраница 4
Эти функции, представляющие некоторые замечательные аналогии с аналитическими функциями, которые являются их частными случаями ( например, с точки зрения сходимости формул экстраполяции), в то же время обладают совершенно отличными дифференциальными свойствами и могут даже не иметь производных. В моих цитированных уже выше лекциях я дал много примеров и поставил несколько проблем, которые я предлагаю вниманию молодых математиков, не повторяя их здесь вновь. [46]
Унификация двух термов относительно теории Т равносильна решению уравнения в этой теории. Следует отметить, что математические исследования, посвященные решению уравнений в известных теориях, имеют столь же давнюю историю, как и сама математика. Эти исследования восходят к вавилонской математике ( примерно 2000 лет до нашей эры) и продолжают оставаться в центре внимания математиков вплоть до сегодняшнего дня. [47]
Однако указанные применения носят слишком специальный характер, чтобы на них можни было построить доказательство общего принципа; кроме того, они несколько неопределенны и произвольны, что придает некоторую ненадежность и выводам, которые можно было бы сделать на основании их о точности самого принципа. Поэтому мне кажется, было бы неправильно изложенный в таком виде принцип ставить в один ряд с теми принципами, которые были указаны выше. Существует, однако, и другой способ его применения, более общий и более точный, который один только и заслуживает внимания математиков. [48]
Однако указанные применения носят слишком специальный характер, чтобы на них можно было построить доказательство общего принципа; кроме того, они несколько неопределенны и произвольны, что придает некоторую ненадежность и выводам, которые можно было бы сделать на их основании о точности самого принципа. Поэтому мне кажется, что было бы неправильно изложенный в таком виде принцип ставить в один ряд с теми принципами, которые были указаны выше. Существует, однако, и другой способ его применения, более общий и более точный, который один только и заслуживает внимания математиков. Первую идею этого принципа дал Эйлер в конце своего сочинения De isoperimetricis, напечатанного в Лозанне в 1744 г.; он показал, что при траекториях, описанных под действием центральных сил, интеграл скорости, умноженный на элемент кривой, всегда является максимумом или минимумом. [49]
Другая интерпретация, по которой функция из А в В не должна быть везде определена, является заманчивой, и было бы приятно, если бы кто-то на ранней стадии развития математики пришел к мысли отличать таким образом функцию от отображения. Однако этого не произошло, и я не знаю, разумно ли ныне менять всю терминологию лишь для того, чтобы было удобнее формулировать некоторые школьные задачи. Как бы то ни было, проблемы обучения теории множеств - немалые проблемы, но плохо, если одно лишь их существование отвлекает внимание математиков от действительно важных проблем. [50]