Такенс

Cтраница 3

Здесь слева показаны колебания потенциала бромид-ионов, в середине - соответствующие спектральные плотности, а справа - двумерные аттракторы в координатах B ( tk) и B ( tk т), построенные по алгоритму Паккарда - Такенса. Отметим, что вид двумерного аттрактора существенно зависит от времени задержки т, Его деформация при изменении т для случаев, показанных на рис. 9.91, а и б, представлена на рис. 9.92 и 9.93 соответственно. На основе трехмерного аттрактора в координатах В ( tt), B ( tt т), 5 ( ft 2T), проекция которого изображена на рис. 9.94, а, в [652] построено точечное отображение на секущей плоскости, перпендикулярной рис. 9.94, а и проходящей через штриховую линию - ( рнс. [31]

Такенс [95] показал, что аналогичный результат для гладких ( но ие аналитических) векторных шлей в вещественном пространстве неверен, даже ес-лп вместо аналитической рассматривать орбитальную топологическую эквивалентность. Такенс построил такую 4-струю векторного поля с невырожденной особой точкой в пространстве R4, для любого представителя которой v существует плоская в нуле добавка, меняющая орбитальный топологический тип поля и в любой окоестности НУЛЯ. [32]

Ландау рассматривал турбулентность как предел бесконечной последовательности не-устойчивостей ( бифуркаций Хопфа), каждая из которых порождает новую основную частоту. Однако Рюэль, Такенс и Ньюхауз показали, что уже после двух неустойчивостей на третьем шаге траектория начинает притягиваться к ограниченной области фазового пространства, в которой первоначально близкие траектории экспоненциально расходятся, так что движение становится хаотическим. [33]

Это понятие объясняется в гл. Сценарий Рюэля - Такенса - Ньюхауза ( так же, как и два предыдущих) хорошо проверен экспериментально, и мы представим некоторые экспериментальные данные, явно указывающие на возникновение странных аттракторов. [34]

В начале 70 - х годов анализ Ландау и Хопфа был подвергнут критике в работе исследователей из Франции и Голландии Дэвида Рюэля и Флориса Такенса. По Рюэлю и Такенсу, странный аттрактор и есть математический образ турбулентного движения. [35]

Предположим, что при обработке сигнала, поступившего от черного ящика, установлено, что ему соответствует конечномерный аттрактор размерности D. Тогда, согласно теореме Такенса, его можно вложить в пространство размерности N [ 2D 1 ] 1, где квадратные скобки означают целую часть числа. Это значит, что в принципе можно обеспечить адекватное описание динамики на аттракторе системой дифференциальных уравнений размерности N для случая непрерывного времени или JV-мерным отображением в случае дискретного времени. [36]

Построение кривой Паккарда - Такенса для выявления хаоса и определения фрактальной размерности ( ц 1 0ц Па с.| Кривые Паккарда - Такенса, характеризующие неизношенное ( 1 и изношенное ( 2 долото. [37]

Как видно из рис. 2.48, при большой вязкости начинаются периодические колебания с периодом, равным продолжительности одного цикла качания насоса. Проверим эту гипотезу процедурой Паккарда - Такенса. [38]

Отметим, что ПГ дает оптимальную в некотором смысле реконструкцию. Действительно, если фазовый портрет системы реконструируется методом Такенса [ Takens 1981 ] по сигналу с периодом Т, то временная задержка Т / 4 обеспечивает то, что аттрактор не вытянут вдоль диагонали. Применение ПГ эквивалентно выбору такой оптимальной задержки для каждой компоненты сигнала. [39]

Схема возникновения различных типов ложных соседей. а хорошая реконструкция, данных достаточно, чтобы разрешить истинную окрестность точки ( масштабы меньше, чем efr, т.е. методами нелинейной динамики можно пользоваться. б та же реконструкция, но данных слишком мало, как обычно и бывает в случае аттракторов большой размерности, и из-за кривизны аттрактора возникают ложные соседи на складках ( FNF. Этот эффект часто не позволяет различить хаотические и стохастические данные. в другой эффект - ложные ближайшие соседи ( FNN из-за неверного выбора параметров реконструкции. точки, удаленные на аттракторе, оказываются рядом в одномерной проекции. В отличие от предыдущего случая FNN исчезают, когда размерность вложения m и запаздывание т выбраны верно. Однако для реконструкций аттракторов большой размерности оба типа ложных соседей могут даже сосуществовать. Корреляционный интеграл обнаруживает наличие ложных соседей. [40]

Лоренца, - ыло взято 107 точек на аттракторе с шагом т 0 2, равным запаздыванию в реконструкции, и рассчитаны расстояния от случайно выбранной точки на аттракторе хо ( Ю 27, 8 91, 30 79) и ее образа ZQ А ( ХО) в 12-мерной реконструкции до всех точек траектории. При m 12, с одной стороны, выполнены условия теоремы Такенса и FNN отсутствуют, а с другой стороны, интервал между началом и концом z - вектора w ( m - 1) т достаточно велик, чтобы начали образовываться складки. Заметим, что для аттрактора Лоренца необходимы специальные усилия, чтобы эффекты, типичные для систем большой размерности, стали заметны. [41]

При реконструкции динамического аттрактора по хронологически упорядоченным измерениям одной переменной возникает вопрос: какой размерности должно быть пространство вложения для того, чтобы ухватить все топологические особенности исходного аттрактора. Ответ на этот вопрос дают теоремы, сформулированные и доказанные математиком Такенсом. [42]

В большинстве случаев, как и в проблеме Зейферта, соответствующий вопрос в случае большей гладкости остается открытым. Исключение составляет задача об инвариантных кривых для сохраняющих площадь отображений кольца, которой посвящена вторая работа Такенса. Здесь усилиями ряда математиков ( Колмогорова, Арнольда, Мозера, Рюссмана) доказано, что в случае высокой гладкости ситуация, иная. [43]

Одним из наиболее волнующих результатов последних исследований по динамике является понятие странного аттрактора. Это понятие появилось в связи с работой Лоренца по атмосферным явлениям [145], а возникновение хаоса при решении простого детерминистического дифференциального уравнения было привлечено Рюэлем и Такенсом [146] для объяснения гидродинамической турбулентности. В этой области по-прежнему имеется целый ряд нерешенных вопросов, о которых будет сказано в гл. [44]

Если такую систему дополнить механизмом возвращения выброшенной траектории обратно к многообразию, то будет реализован хаотический режим, перемежающийся редкими выбросами. Кстати, авторы [343] специально отмечали, что их работа была навеяна аналогиями с солнечными циклами, рыночными ценами акций и развитием биологических видов, а также тем, что для таких режимов скорее всего будет неприменима теорема Такенса ( о ней речь будет идти в главе, посвященной реконструкциям аттракторов), поскольку траектория много времени проводит на инвариантном многообразии, а поэтому она не способна характеризовать направления, в которых ее выбрасывает неустойчивость. [45]

Страницы: 1 2 3 4