Cтраница 4
Релея становится больше критического значения г - 24.74.) то означает ( [29]), что все решения неустойчивы и почти все из них апери-одичны, хотя существует бесконечное число периодических решений с различными периодами. Хаотическое поведение и чувствительная зависимость от начальных условий решений дифференциальных уравнений обеспечивают основной механизм появления турбулентности. Странный аттрактор по Рюэлю и Такенсу, которые впервые ввели этот термин, - это, по существу, любое связное компактное притягивающее множество, не являющееся ни состоянием равновесия, ни предельным циклом, ни гладкой поверхностью. Но это множество является аттрактором. На самом же множестве решения ведут себя неустойчивым образом. Заметим, что название странный аттрактор объясняется скорее формой ( геометрией) инвариантного множества, чем динамическими свойствами. Возможно, понятие странного аттрактора, введенное Рюэлем и Таксисом, является жертвой успеха, связанного с общим подходом, и желательно определить это понятие более точно. Афраймович ( [8]) предложил называть аттрактор странным, если он отличен от конечного объединения гладких многообразий. [46]
Рюэль и Такенс [627] обратили внимание на то, что путь, указанный Ландау, не общий, что общая возможность - это образование странного аттрактора. Но как возникает странный аттрактор, они не исследовали. Идеи, высказанные Рюэлем и Такенсом в 1971 г., имеют свою предысторию. [47]
Во-вторых, удар по традиционным представлениям относительно свойств макроскопического мира был нанесен той легкостью, с которой сценарии эволюции детерминированных макроскопических систем ( например, систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями) порождают нерегулярные апериодические решения, называемые хаотическими или турбулентными. Такие решения, полученные одновременно с развитием неравновесной теории устойчивости, вызвали потрясение в физических и биологических науках: новые режимы разительно отличались от сценария, предложенного Л. Д. Ландау для объяснения гидродинамической турбулентности, а именно возбуждения бесконечного числа частотных мод в непрерывной системе. В первом альтернативном сценарии, предложенном Рюэлем и Такенсом [1.17], использованы только три частоты. Шумное поведение в этом сценарии было связано со странным аттрактором, возникавшим после трех последовательных бифуркаций рождения цикла. Нельзя не удивляться тому, что странный аттрактор, порождающий турбулентный режим, может существовать уже в системах столь малой размерности, а именно в системах, описываемых тремя обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. [48]
При достаточно большом е возмущение еНг разрушает все торы. При этом с увеличением возмущения последним разрушается КАМ-тор с наиболее иррациональным соотношением частот ы / 2 ( V5 - 1) / 2 ( см. разд. Разрушение этого тора в некотором смысле аналогично механизму Рюэля - Такенса возникновения хаоса в диссипативных системах. Действительно, Шенкер и Каданов ( Shenker, Kadanoff, 1982), а также Маккей ( McKay, 1983), изучая бездиссипативное ф 1) отображение кольца в себя (5.56), нашли, что последняя КАМ-траектория разрушается универсальным образом в соответствии с законами самоподобия. [49]
Корреляционный интеграл из уравнения (16.2) вычисляет вероятность того, что две точки, которые являются частью двух различных траекторий в фазовом пространстве, отстоят друг от друга на е единиц. Предположим, что Xj во временном ряде X ( с наблюдениями Т) независимы. Мы задерживаем этот ряд в историях N; то есть мы используем метод задержки времени Такенса для создания фазового пространства размерности N из временного ряда X. [50]
С М) такое, что локально оно выглядит как кусок пространства М и имеет в каждой точке единственную касательную гиперплоскость, т.е. W вложено в М гладко. Например, предельный цикл и двумерный инвариантный тор - это соответственно одномерное и двумерное подмногообразия. Но в диссипативных динамических системах, размерность фазового пространства которых п 3, могут существовать ограниченные притягивающие множества, которые являются аттракторами и одновременно не являются подмногообразиями. Такенсом в [101] и означал аттрактор, отличный от стационарной точки и предельного цикла. [51]
Обычно первые два фактора менять невозможно. Для отображений фиксирован и временной шаг. Относительно размерности вложения m теорема Такенса требует только, чтобы она не была слишком мала; верхней границы, с точки зрения теоремы, нет. Поэтому можно сформулировать задачу оптимального выбора параметров реконструкции, так чтобы получаемый набор реконструированных векторов был наиболее информативен. [52]
Аналогичное знакомство и последующая реакция несколько позднее произошли и в ряде других стран. Можно указать на семинары 1976 - 1977 гг. по турбулентности и уравнению Навье - Стокса, семинар по точечным отображениям и их приложениям 1973 г. в Тулузе. Навье - Стокса 1976 - 1977 гг. стали работа Лоренца 1963 г. [563] о непериодическом характере движений трех-модовой модели конвективной турбулентности и работа Рюэля и Такенса 1971 г. [627], содержавшая новые предположения о природе турбулентности. Эти работы были переизданы и именно вокруг них сконцентрировались многие из последующих работ. [53]
Теорема Рюэля и Такенса [101, 247] утверждает, что если существует векторное поле v на трехмерном торе, отвечающее трахчастотному квазипериодическому движению, то в любе и окрестности / соответствующей точки функционального пространства Ф найдутся векторные поля v на трехмерном торе, обладающие странными аттракторами. Аналогичное утверждение справедливо для квазипериодических движений и на торах большей размерности. Иначе говоря, в принципе достаточно слабо возмутить правые части системы ( 1), чтобы движение из квазипериодического с тремя несоизмеримыми частотами перешло в хаотическое. Однако это выполняется не для всех векторных нолей v, имеющихся в окрестности U. Если бы векторное поле v было структурно неустойчиво, то, действительно, какие-угодно малые возмущения привели бы к разрушению трехмерного тора и появлению режима движения, качественно отличного от квазипериодического. Теорема Рюэля - Такенса утверждает, что при малых возмущениях поля v может возникнуть странный аттрактор: в окрестности U существуют поля v, среди которых есть такие, которые имеют странные аттракторы, и такие, которые не обладают ими. [54]
Функция Z рассчитывает, сколько точек находится на расстоянии е друг друга. Согласно теории, Ст должно увеличиваться со скоростью е, где D - корреляционная размерность фазового пространства, которая близко связана с фрактальной размерностью. Вычисление корреляции требует от нас знания того, как выглядит фазовое пространство. В реальной жизни мы не только не знаем факторы, задействованные в системе, мы даже не знаем, сколько их. Обычно у нас есть только одна наблюдаемая величина, например, изменения курса акций. К счастью, в теореме Такенса ( Takens, 1981) говорится, что мы можем воссоздать фазовое пространство, задерживая один временной ряд, который мы имеем, для каждой размерности, которая, как мы думаем, существует. Если число размерностей вложения больше, чем фрактальная размерность, корреляционная размерность стабилизируется к одному значению. [55]