Cтраница 2
Прежде всего совершим топологическое отображение области ( 3 на область р, представляющую собой внутренность круга, границей которого является окружность а - образ кривой а. [16]
Таким образом, преобразование ( 3 - 16) отображает правую полуплоскость s на внутренность круга в плоскости р; отображение оси / со является окружностью. [17]
Доказать, что сг ( Л) A G С: А 1, причем внутренность круга состоит из собственных значений А. [18]
Воспользовавшись теперь результатами § 36, легко получить функцию, отображающую область, расположенную внутри одной из ветвей гиперболы на внутренность круга. [19]
Докажем прежде всего, что Б рассматриваемом случае все треугольники, представляющие собой фундаментальные области, покры-нают конечную часть плоскости - внутренность круга пли полуплоскость. [20]
Для полноты картины заметим еще, что заштрихованная на рис. 51 область z переходит во внутренность профиля w с разрезом по его дужке, а внутренность круга A0B0C0D функцией Жуковского будет отображаться на полную ю-плоскость, расположенную на втором листе римановой поверхности, склеенной теперь ( в отличие от рис. 49) по дужке. ABCD, так что надобность в рассмотрении второго листа римановой поверхности в этом случае отпадает. [21]
В силу второго из условий (2.180) аналогично заключаем, что и функция F2 ( z) - u2 ( х, y) - - iu ( x, у) продолжается аналитически изнутри полукруга z - 1 / 2 1 / 2, i / О во всю внутренность круга z - 1 / 2 1 / 2 также по принципу симметрии. [22]
Все отталкивающие точки расположены на окружности z 1 и всюду плотно на окружности, которая является производным множеством для отталкивающих точек. Внутренность круга 1 есть область притяжения точкой О, потому что zn имеет пределом нуль; внешность-есть область притяжения бесконечно удаленной точкой. [23]
Гиперболическая плоскость, обозначаемая через Я2, открытая Лобачевским и Бойяи в 1828 г. - это геометрия, в которой аксиома параллельных неверна. Обычно ее представляют как внутренность круга на плоскости. [24]
Так, при отбражении на внутренность круга г 1 в ( 5) следует взять ту ветвь, которая обращается в ноль при w оо. [25]
Считая контур отверстия прямолинейным многоугольником, отобразим внутренность круга на область вне отверстия с помощью интеграла Шварца - Кристоффеля. [26]
Это доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского не просто; оно проводится при помощи предъявления модели геометрии Лобачевского, в которой выполняются именно его аксиомы. Одна из таких моделей ( модель Клейна) изображает плоскость Лобачевского как внутренность круга, а прямые Лобачевского - как его хорды. Провести через точку круга много хорд, не пересекающихся с какой-либо данной хордой, не проходящей через эту точку, нетрудно. Проверка остальных аксиом геометрии в этой модели тоже не очень трудна, но трудоемка, так как этих аксиом много. Например, любые две точки внутри круга можно соединить прямой Лобачевского ( хордой), и притом только одной и так далее. Все это явно проделано в учебниках и занимает много ( скучных) страниц. [27]
Чтобы сделать дальнейший шаг, мы откажемся от того ограничения, что переменное z пробегает лишь действительные значения, и допустим к рассмотрению также и комплексные значения для г. При этом условии степенной ряд будет сходиться в круге с центром. При таком определении функции сначала принимается во внимание только некоторая область плоскости, именно внутренность круга сходимости, и мы говорим в этом случае об элементе функции в противоположность полной функции, возникающей из этого элемента посредством аналитического продолжения. [28]
Сведение непрерывной связности к понятию окрестности страдает одним недостатком: установление и-й окрестности с помощью отношения U ( P Q п) влечет за собой много такого, что не имеет места при задании непрерывной связности. Например, на плоскости мы можем выбрать в качестве n - й окрестности некоторой точки внутренность круга радиуса 1 / и с центром в этой точке, но ничто не мешает нам выбрать и внутренность круга радиуса 1 / 2; кроме того, вместо окрестностей, имеющих форму круга, можно рассматривать также окрестности эллиптические, квадратные или имеющие какую-нибудь другую форму. Мы вынуждены мириться с этим произволом ( равно как и с произволом в выборе предметов, играющих роль точек поверхности), поскольку не располагаем еще сколько-нибудь удовлетворительным ответом на вопрос, как ясно и четко преодолеть полосу, отделяющую то, что нам непосредственно дано, от принадлежащего математике. [29]
Выбирая различные точки ZQ, можно получить для одной и той же функции сколько угодно различных рядов Тейлора. В теории аналитических функций доказывается, что область комплексной плоскости, в которой ряд Тейлора сходится, представляет собой внутренность круга с центром в точке ZQ. Этот круг называется кругом сходимости. [30]