Внутренность - круг
Cтраница 3
Согласно теореме Римана, всегда существует аналитическая функция z z ( C), конформно отображающая внутренность контура С на внутренность круга К. [31]
Вейерштрасс привел примеры подобных вариационных задач, которые не имеют решения. Кроме того, Адамар ( Hadamard) [1] привел пример такой непрерывной функции, заданной на границе круга, которую невозможно распространить непрерывным образом на внутренность круга так, чтобы для получившейся функции v интеграл I ( v) не был расходящимся. Но ошибка Римана была одной из тех творческих ошибок, которые способствуют развитию науки. Позже она была исправлена, и на идее Римана было дано несколько новых решений задачи Дирихле. [32]
Сведение непрерывной связности к понятию окрестности страдает одним недостатком: установление и-й окрестности с помощью отношения U ( P Q п) влечет за собой много такого, что не имеет места при задании непрерывной связности. Например, на плоскости мы можем выбрать в качестве n - й окрестности некоторой точки внутренность круга радиуса 1 / и с центром в этой точке, но ничто не мешает нам выбрать и внутренность круга радиуса 1 / 2; кроме того, вместо окрестностей, имеющих форму круга, можно рассматривать также окрестности эллиптические, квадратные или имеющие какую-нибудь другую форму. Мы вынуждены мириться с этим произволом ( равно как и с произволом в выборе предметов, играющих роль точек поверхности), поскольку не располагаем еще сколько-нибудь удовлетворительным ответом на вопрос, как ясно и четко преодолеть полосу, отделяющую то, что нам непосредственно дано, от принадлежащего математике. [33]
Одим из первых исследователей был Кон [4], рассмотревший методом конформных преобразований полоско-вые системы с очень тонким центральным проводником. В этом методе внутренность полосковой линии с прямоугольным экраном отображается на внутренность круга, что позволяет при дальнейшем исследовании использовать методику, рассмотренную в начале этой главы применительно к коаксиальной и двухпроводной линиям передачи. [34]
Пусть точки Т и Т будут представлять собою какие-либо две соответствующие точки; приняв теперь за радиус а круга инверсии длину О О, видим, что прямой контур OY основной задачи преобразуется в круг, проходящий через О и О, центр К. О К, проходящей через О; полуплоскость же вправо от О К преобразуется во внутренность упомянутого круга, как показано соответствующей штриховкой ( фиг. [35]
 |
Свойства дробио-линейного преобразования. [36] |
Правая полуплоскость Z отображается на внутренность круга в плоскости W. Известная диаграмма Смита представляет этот тип преобразования. Так как Z ( s) является положительной вещественной функцией, то правая полуплоскость s отображается на правую полуплоскость Z, которая в свою очередь отображается в плоскости W на внутренность круга. [37]
Пространство X можно рассматривать как часть пространства максимальных идеалов алгебры А; поэтому на X можно рассматривать не только обычную топологию пространства максимальных идеалов, но и метрику, индуцированную вложением X в пространство, сопряженное А. Рл ( хг, я2) 2; отношение р ( х1, ж2) 2 является отношением эквивалентности, и классы эквивалентности наз. Если X - круг г: 1 иЛ - замкнутая подалгебра в С ( X), состоящая из аналитических при z [ 1 функций, то метрика р неевклидова, а долями Глисона служат одноточечные множества на границе и внутренность круга. Доли Глисона не всегда обладают аналитич. Глисона пространства максимальных идеалов нек-рой алгебры, такой, что сужение алгебры на эту долю содержит всякую ограниченную непрерывную функцию. Принадлежность двух точек к одной и той же доле Глисона может быть охарактеризована в терминах представляющих мер на границе Шилова: такие две точки обладают взаимно абсолютно непрерывными представляющими мерами с ограниченными производными. Алгебра, для к-рой НеЛ гплотно в С ( Г), наз. [38]
Рассмотрим опыт, заключающийся в том, что на лист бумаги бросается дробинка, не имеющая размера. Пусть во множество событий S входит любой правильный многоугольник, лежащий естественно на листе бумаги. Тогда в это множество также должен войти любой круг, поскольку круг является счетным пересечением множества описанных правильных прямоугольников. Внутренность круга также является событием, поскольку она оказывается счетным объединением вписанных правильных многоугольников за вычетом счетного множества их вершин, которое, в свою очередь, измеримо как счетное объединение счетных пересечений последовательностей квадратов, стягивающихся в точки. [39]
Мы подвергаем континуумы чисто топологическому исследованию тогда, когда сосредоточиваем внимание только на таких их свойствах и различиях, которые сохраняются при произвольной непрерывной деформации, произвольном непрерывном отображении. От отображения требуется лишь, чтобы оно не приводило к совпадению того, что раздельно. Так, топологическим свойством поверхности является ее замкнутость, как у сферы, или открытость, как у обычной плоскости. Часть плоскости, например внутренность круга, односвязна, если любой поперечный разрез делит ее на части, в то время как круговое кольцо двусвязно, так как допускает поперечный разрез, не приводящий к распадению его на отдельные части, но такой, что после того, как он проведен, любой новый поперечный разрез приводит к распадению кольца. [40]
Для более полной характеристики отображения инверсии уста - Новим прежде всего, что оно антиконформно и сохраняет окружности. Оба эти свойства вытекают из связи этого отображения с симметрией на сфере и из кругового свойства стереографической проекции. Далее, при инверсии внутренность круга переходит в его внешность; в частности, центр - в бесконечно удаленную точку. Точки самой окружности К остаются неподвижными. [41]
Приведем несколько простых примеров, приняв для этого несколько хорошо известных определений. На обычной эвклидовой плоскости внутренности треугольника, круга и эллипса гомеоморфны. Поверхности куба и сферы гомеоморфны в обычном трехмерном пространстве. Можно доказать, что на плоскости внутренность круга и внутренность кругового кольца не гомеоморфны и что в пространстве поверхность и внутренность сферы не гомеоморфны соответственно поверхности и внутренности тора. [42]
Внутренность круга с центром в точке ZQ радиуса R; одно-связна. Внешность круга радиуса 2 с центром в точке zflJ с выколотой бесконечно удаленной точкой; дву связна. Горизонтальная полоса, заключенная между прямыми у - - 1 / 2 и ( / 0; односвязна. Внешность круга радиуса R с центром в точке г0; односвязна. Внутренность круга радиуса 2 с центром в точке ( 2, 0); односвязна. [43]
Легко видеть, что уравнением Лагранжа-Эйлера для рассматриваемой вариационной задачи служит уравнение Лапласа. Поэтому если эта вариационная задача имеет решение, то оно и будет служить решением задачи Дирихле. Существование решения вариационной задачи Риман выводил из того, что множество значений интеграла / ( и) ограничено снизу, так как / ( v); 0 и потому имеет конечную нижнюю грань. Как потом показал Вейер-штрасс, это заключение Римана было неправильным; Вейерштрасс привел примеры подобных вариационных задач, которые не имеют решения. Кроме того, Адамар [1] привел пример такой непрерывной функции, заданной па границе круга, которую невозможно распространить непрерывным образом на внутренность круга так, чтобы для получившейся функции v интеграл / ( v) не был расходящимся. Но ошибка Римана была одной из тех творческих ошибок, которые способствуют развитию науки. Позже она была исправлена, и на идее Римана было дано несколько новых решений задачи Дирихле. [44]
Внутренность круга с центром в точке го радиуса R; одно-связна. Кольцо между окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точке г0; двусвязна, 1.3. Внешность круга радиуса 2 с центром в точке гс ( с выколотой бесконечно удаленной точкой; двусвязна. Горизонтальная полоса, заключенная между прямыми г / - 1 / 2 и t / 0; односвязна. Внешность круга радиуса R с центром в точке гс; односвязна. Бесконечно удаленная точка г оо является внутренней точкой этой области. Внутренность круга с выколотым центром Z0 - - i радиуса 2; двусвязна. Полуплоскость, лежащая левее прямой 1, 1.8. Внутренность круга радиуса 2 с центром в точке ( 2, 0); односвязна. [45]
Страницы: 1 2 3 4