Cтраница 3
Знакомые нам скалярные величины - величины, не зависящие от направления, и значит от выбора координат, являются в математическом отношении тензорами нулевого ранга. Подобные тензоры характеризуются одним числом. [31]
Если каждой системе координат отнесено одно и то же фиксированное число а, то его формально можно также считать тензором, а именно - тензором нулевого ранга. Тензор нулевого ранга называется скаляром. [32]
Изотропным тензором второго ранга является тензор Кронекера б / /, такой тензор третьего ранга есть тензор Леви-Чивиты е / - Каждый скаляр также может считаться изотропным тензором нулевого ранга. Однако изотропного тензора первого ранга не существует. Тензоры 4-го ранга б / б ( и 6, 6 / / баб / являются изотропными, и обобщенный изотропный тензор четвертого ранга получается их линейной комбинацией. [33]
Если каждой системе координат отнесено одно и то же фиксированное число а, то его формально можно также считать тензором, а именно - тензором нулевого ранга. Тензор нулевого ранга называется скаляром. [34]
Итак, абсолютные скаляры, векторы и мультипликативные тензоры являются тензорами различных рангов. Абсолютные скаляры - тензоры нулевого ранга, векторы - тензоры первого ранга, мультипликативные тензоры (1.37) и (1.39) - тензоры второго ранга. [35]
Следовательно, скаляр является тензором нулевого ранга. [36]
Для математика тензор - это величина, преобразующаяся вполне определенным образом при преобразованиях координат, которые математик использует для описания задачи. Скалярная величина, которую можно считать тензором нулевого ранга, не меняется при преобразованиях координат. Вектор изменяется при преобразованиях координат ( хотя его величина остается неизменной, ее описание в новых координатах отлично от описания в исходных координатах) и представляет собой тензор первого ранга. В качестве примеров тензоров высших рангов можно привести более сложные величины, например такие, как гг, где г - вектор, который представляет собой тензор второго ранга. Математики различают контравариантные и кова-риантные тензоры. [37]
Градиент тензора представляет собой тензор третьего ранга. В общем тензорном анализе или линейной алгебре скаляры рассматриваются как тензоры нулевого ранга, векторы - как тензоры первого ранга, тензоры - как тензоры второго ранга; кроме того, изучаются тензоры более высокого ранга. [38]
Тензор записывается как А, если его ранг ( число индексов) равен или больше двух. Вектор представляет собой тензор первого ранга и обозначается как А; скаляр А можно рассматривать как тензор нулевого ранга. [39]
Логически продолжая вышеуказанную схему, тензор третьего ранга записывают символом с тремя свободными индексами. А символ, который не имеет связанного с ним индекса, такой, как, например, Я, изображает скаляр, или тензор нулевого ранга. [40]
При операциях сложения или вычитания форме скобок, заключающих внутри себя эти операции, не придается никакого особого значения. Таким образом, величины ( v - ic) и ( а; т) являются скалярами, величины [ tXic ] и [ т-г ] - векторами, а величина а т представляет собой тензор второго ранга. Заметим, что скаляры формально можно считать тензорами нулевого ранга, а векторы - тензорами первого ранга. [41]
Тензор atj на самом деле нужно называть тензором второго ранга, ибо у него два индекса. Итак, выходит, что электрическое поле Е будет тензором первого ранга, а плотность энергии ир - тензором нулевого ранга. [42]
Свертыванием тензора называется операция суммирования его компонент по любой паре верхних и нижних индексов. При этом его ранг снижается на два. Например, в результате свертывания тензора второго ранга, заданного смешанными компонентами Т / получается скаляр Т Т Т 7t, который можно рассматривать как тензор нулевого ранга. [43]
Тензор рассеяния не единственный. Тензоры деформации и напряжения встречаются при изучении деформации тел под действием внешних сил. Деформация не всегда параллельна направлению приложенной силы, поэтому возникающие при деформации тела силы сопротивления, вообще говоря, анизотропны. Тензоры или диады могут быть очень простыми; наиболее простым тензором, тензором нулевого ранга, является скаляр. Векторы также служат примерами тензоров. Обычный вектор представляет собой тензор первого ранга. [44]
Матрицы представляют собой двумерные множества, для упорядочения которых нужны два индекса. Наиболее общей упорядоченной величиной является тензор. Число индексов, необходимых для построения тензора, называется его рангом. Таким образом, вектор является тензором первого ранга, матрица - тензором второго ранга, а скаляр - тензором нулевого ранга. [45]