Cтраница 4
Они позволяют осуществить разбиение множества систем внутренних параметризаций поверхности на непересекающиеся классы конформно эквивалентных систем комплексных гауссовых координат. Такие классы, составляющие довольно широкие семейства координатных систем, позволяют рассматривать различные объекты, характеризующиеся некоторыми инвариантными свойствами относительно конформных преобразований комплексных координат. Будут изучены их алгебраические и дифференциальные свойства и обнаружена связь теории ковариантов с тензорным анализом на поверхности. Мы обнаружим, что тензорный анализ на поверхности в классе конформно эквивалентных координатных систем по существу редуцируется к теории ковариантов. Комплексные компоненты тензора обладают определенными индивидуальными инвариантными свойствами относительно конформньх преобразований комплексных гауссовых координат, и это дает возможность рассматривать их как самостоятельные объекты, независимо от других компонент того же тензора. Компоненты тензора относительно систем вещественных гауссовых параметров, как известно, не обладают такого рода индивидуальными инвариантными свойствами, за исключением скаляров, представляющих тензоры нулевого ранга. [46]
Восприимчивость 7ав ( в) связывает две физические величины, каждая из которых имеет смысл, не зависящий от случайного выбора системы координат. Поэтому восприимчивость, связывающая эти две величины, должна в некотором смысле также не зависеть от выбора системы координат. Это значит, что восприимчивость, имеющая некоторый частный вид в выбранной системе координат, при изменении системы координат должна преобразовываться определенным образом, так чтобы сохранялась требуемая взаимосвязь между физическими величинами. Такое свойство называется тензорным свойством. В частности, поскольку 5Сар ( со) связывает компоненты двух векторов, то требуется два координатных индекса. Число координатных индексов определяет ранг тензора; вектор есть тензор первого ранга, скаляр - тензор нулевого ранга. [47]
Восприимчивость Хяв ( ю) связывает две физические величины, каждая из которых имеет смысл, не зависящий от случайного выбора системы координат. Поэтому восприимчивость, связывающая эти две величины, должна в некотором смысле также не зависеть от выбора системы координат. Это значит, что восприимчивость, имеющая некоторый частный вид в выбранной системе координат, при изменении системы координат должна преобразовываться определенным образом, так чтобы сохранялась требуемая взаимосвязь между физическими величинами. Такое свойство называется тензорным свойством. В частности, поскольку ха0 ( со) связывает компоненты двух векторов, то требуется два координатных индекса. Число координатных индексов определяет ранг тензора; вектор есть тензор первого ранга, скаляр - тензор нулевого ранга. [48]