Cтраница 2
Среди тензоров типа ( р, q) следует выделить так называемый нуль-тензор. Это тензор, координаты которого в любом базисе равны нулю Очевидно, соотношения (8.19) выполняются. [16]
Среди тензоров типа ( р, q) следует выделить так называемый нуль-тензор. Это тензор, координаты которого в любом базисе равны нулю. [17]
Представление тензора типа ( 2, 0) в виде произведения двух тензоров типа ( 1 0) возможно тогда и только тогда, когда матрица тензора [ А ] вырожденная. [18]
Среди тензоров типа ( р, q) следует выделить так называемый нуль-тензор. Это тензор, координаты которого в любом базисе равны нулю. [19]
Сверткой тензора типа ( р, д), где р, q 1, по двум индексам, один из которых нижний, а другой - верхний, называется объект, определяемый в каждом базисе пространства Ln совокупностью np q - 2 чисел, которые строятся так: указанные индексы переобозначаются одной буквой, в результате чего сверху и снизу оказывается один и тот же индекс и, следовательно, по нему производится суммирование. [20]
Среди тензоров типа ( р, q) следует выделить так называемый нуль-тензор. [21]
Определение 29.6. Тензор типа ( 0, 0) называется инвариантом. [22]
Очевидно, тензоры типа Риччи можно умножать на числа и складывать; в результате снова получаются тензоры типа Риччи. [23]
Если матрица тензора типа ( 2, 0) ( билинейной формы) симметрична в одном базисе ( т.е. эта билинейная форма симметрична), то она симметрична и в любом другом базисе. Отметим, что матрица линейного оператора аналогичным свойством не обладает: если она и окажется в каком-то базисе симметричной, то в другом базисе она, вообще говоря, уже не будет симметричной. [24]
Два поверхностных тензора типа ( kv зг) и типа ( k2, s2) одинакового ранга п ( s1 k2 s2 п), получающиеся один из другого путем применения ( одно - или многократного) операций поднятия и опускания индексов, называются эквивалентными. Класс эквивалентных тензоров ранга п называется тензором п-го ранга. Каждый такой класс объединяет 2 представителей. [25]
Вейля, для тензора типа ( 3 1), а не для его вариантов, получающихся сверткой с метрикой или с обратной ей, - в этих случаях появляются степени а. Из этого свойства, очевидно, следует тот факт, что в размерности, большей или равной 4, метрика 7 локально конформно эквивалентна плоской метрике тогда и только тогда, когда ее конформная кривизна W тождественна равна нулю. [26]
Напротив, для тензоров типа ( 0 2) свертка не определена. В соответствии с этим след матрицы квадратичной формы не будет инвариантом - он может быть изменен при изменении базиса. Предоставим читателю проверить это. [27]
Напротив, для тензоров типа ( 0, 2) свертка не определена. В соответствии с этим след матрицы квадратичной формы не будет инвариантом - он может быть изменен при изменении базиса. Предоставим читателю проверить это. [28]
Напротив, для тензоров типа ( 0, 2) свертка не определена. В соответствии с этим след матрицы квадратичной формы не будет инвариантом-он может быть изменен при изменении базиса. Предоставим читателю проверить это. [29]
При опускании индекса тензору типа ( р, д), р 1, сопоставляется тензор типа ( р - 1, q 1), получаемый свертыванием данного тензора с метрическим тензором по тому индексу, который мы хотим опустить. При этом порядок индексов сохраняется в следующем смысле. Мы отказываемся от соглашения, по которому каждый нижний индекс следует за каждым верхним. Для того чт бы отметить порядок индексов, над каждым нижним индек -, сом и под каждым верхним индексом ставится точка. [30]