Cтраница 2
В этом случае по теореме Кантора - Бернштейна существует взаимно однозначное соответствие между элементами X и элементам. X совпадает с мощностью л множества Y: к К. [16]
Достаточность этого условия вытекает из теоремы Кантора. [17]
В заключение заметим, что теорема Кантора имеет очень большое теоретическое значение. С ее помощью доказан ряд фундаментальных теорем. [18]
Первый из них связан с теоремой Кантора, утверждающей, что всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество, о которой у нас шла речь не раз. [19]
Ft fl FSf, удовлетворяет условиям теоремы Кантора. [20]
Это рассуждение можно развернуть, вспомнив доказательство теоремы Кантора - получится так называемый парадокс Рассела. [21]
Из эквивалентности множеств А и С вытекает ( на основании теоремы Кантора - Бернштейна), что А эквивалентно В. [22]
Она непрерывна на этом сегменте и, следовательно, по теореме Кантора равномерно непрерывна на нем. В самом деле, ( - 1 1) С [ - / / ], и так как неравенство у ( х) - у ( х %) е выполняется VxiX2 G [ - / / ], удовлетворяющих неравенству x - - х2 S ( s), то оно выполняется и для любых xi X2 G ( - 1 1), удовлетворяющих тому же неравенству. [23]
Она непрерывна на этом сегменте и, следовательно, по теореме Кантора равномерно непрерывна на нем. В самом деле, ( - /, /) с [ - /, / ], и так как неравенство ly ( xi) - y ( xz) & выполняется V i, хг е [ - /, / ], удовлетворяющих неравенству Xi - X i 8 ( е), то оно выполняется и для любых хъ л 2 е ( - /, /), удовлетворяющих тому же неравенству. [24]
Она непрерывна на этом отрезке и, следовательно, по теореме Кантора, равномерно непрерывна на нем. В самом деле, интервал ( - 1, 1) представляет собой подмножество отрезка [-1, 1 ], т.е. ( - 1, 1) с [-1, 1], и так как неравенство) - / () 1Е выполняется для любых х, х & [- 1, 1], удовлетворяющих неравенству х - х 5, то оно выполняется и для любых х, х е ( - 1, 1), удовлетворяющих тому же неравенству, что и требовалось доказать. [25]
FI МПВ ( х, 1 / t), удовлетворяет условиям теоремы Кантора. [26]
Как было замечено выше, в 1908 г. Пеано признал, что доказательство теоремы Кантора опирается на аксиому выбора. [27]
Из (70.5) и (70.7) следует, что ряд (70.6) имеет все коэффициенты равными нулю и таким образом теорема Кантора доказана. [28]
В частном случае, когда X [ а, Ь ] и Y - R, получаем теорему Кантора. [29]
Куратовский в [1933] доказал теоремы 4.3.3, 4.3.10 и 4.3.13; в [1930] он обнаружил, что условие теоремы Кантора достаточно для полноты. Пополнение метрического пространства было описано Хаусдорфом в [1914] ( единственность была отмечена в [1927]); конструкция Хаусдорфа ( см. задачу 4.5.6) связана с теорией вещественных чисел Кантора-Мерэ. Теорема 4.3.24 легко следует из факта, установленного Лаврентьевым в [1924] ( для подмножеств евклидовых пространств - Мазуркевичем в [1916]), что свойство быть 06-множеством в полном пространстве топологически инвариантно. Теорема 4.3.26 была доказана Чехом в [1937]; из нее следует, что теорема Бэра о категории имеет место для всех пространств, метризуемых полной метрикой ( ср. [30]