Cтраница 3
Так как функция f ( х) непрерывна на отрезке [ a, b ], то по теореме Кантора она-и равномерно-непрерывна на нем. [31]
Но множество П не является замкнутым ( поскольку не содержит точку О ( 0 0)), поэтому теорема Кантора непосредственно здесь не применима. [32]
Сама эта теорема представляет собой важное теоретико-множественное утверждение, так как она, с одной стороны, является обобщением теоремы Кантора о мощности множества подмножеств заданного множества, а с другой - эквивалентом аксиомы выбора - Первое было осознано уже Кенигом [1], а ее эквивалентность аксиоме выбора установили в 1963 г. Рабины [ 1, с. Кас-сине и Гюйемо [ 1, с. Кенига [1] да заметили, что Цермело в [4] доказал эквивалентность формулировки Кенига с аксиомой выбора в общем случае. Как будет видно далее, последнее замечание не вполне корректно. [33]
Если функция / ( ж) непрерывна на конечном сегменте [ а, 6 ], то в силу теоремы Кантора о равномерной непрерывности она и равномерно непрерывна на этом сегменте. [34]
Посмотрите на приведенные выше задачи, где требовалось доказать равномощность, и убедитесь, что во многих из них применение теоремы Кантора - Бернштейна сильно упрощает дело. [35]
Так как множество 10Ш X взаимно однозначно соотвествует множеству бесконечных десятичных дробей, задающих числа из [0, 1], то по теореме Кантора и предложению 1.4.8. остается показать, что множество X счетно. [36]
Раздел III статьи Уайтхеда [1], в котором, в частности, изложены приведенные факты, принадлежит Расселу, так что указанное сомнение в теореме Кантора и получение с ее помощью равенства ( 7) принадлежит ему, но во введении Уайтхед ( с. Равенство ( 7) теперь считается доказуемым без какого-либо обращения к аксиоме выбора ( см., например, статью Собоцинского [ 1, с. Таким образом, мнение Рассела ( и Уайтхеда), что для доказательства этого равенства необходимо прибегать к теореме Кантора, а тем самым и к аксиоме выбора вытекало, казалось бы, лишь из того, что они не сумели доказать ее без этого. Однако указываемые Собоцинским способы доказательства опираются, в частности, на теорему эквивалентности. [37]
Доказать, что функция f ( x) xz равномерно непрерывна на интервале ( - 1, I) 1, причем сделать это двумя способами: 1) используя теорему Кантора; 2) используя определение равномерной непрерывности. [38]
Докажем, что функция у х2 равномерно непрерывна на интервале ( - 1 1), причем сделаем это тремя способами: 1) пользуясь определением равномерной непрерывности; 2) используя теорему Кантора; 3) используя достаточное условие равномерной непрерывности. [39]
А Докажем, что функция у - хг равномерно непрерывна на интервале ( - /, /), причем сделаем это тремя способами: 1) пользуясь определением равномерной непрерывности; 2) используя теорему Кантора; 3) используя достаточное условие равномерной непрерывности. [40]
Согласно результату задачи 359, мощность совокупности всех замкнутых множеств пространства X не превосходит мощности континуума, С другой стороны, все одноточечные множества из X замкнуты, а они уже образуют множество мощности континуума; для доказательства утверждения остается применить теорему Кантора - Бернштейна. [41]
Для доказательства эквивалентности множеств А н В можно: либо непосредственно установить взаимно однозначнре соответствие между множествами А и В; либо, если это сделать трудно, установить эквивалентность множества А подмножеству множества В и множества В подмножеству множества Л, а затем применить вторую теорему Кантора - Бернштейна. [42]
Теорема Кантора была доказана Гейне. [43]
С другой стороны, она и не меньше мощности континуума, так как все функции, постоянные на отрезке [ а, & ], уже образуют множество мощности континуума. Остается применить теорему Кантора - Бернштейна. [44]
Оказывается, что функция и ( х у) является равномерно непрерывной на всей плоскости. Однако обосновать это с помощью теоремы Кантора уже нельзя, так как плоскость - неограниченное множество, и теорема Кантора неприменима. Равномерная непрерывность и ( х у) на всей плоскости будет доказана в § 5 ( см. пример 8 на с. [45]