Cтраница 4
Всякий минор матрицы системы является в то же время и минором расширенной матрицы. Следовательно, ранг матрицы системы не может быть больше ранга расширенной матрицы, а может быть только меньше или равен этому рангу. Теорема Кронекера - Капелли утверждает, что если ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система несовместна, а если равен ему, то совместна. [46]
Расширение поля называется круговым, если оно содержится в поле, полученном присоединением корней из единицы. Выше мы показали, что квадратичные расширения поля Q являются круговыми. Теорема Кронекера утверждает, что всякое абелево расширение поля Q является круговым, но ее доказательство требует техники, которая не может быть изложена в этой книге. [47]
Если гиперплоскости ( 1) и ( 2) не пересекаются, то они не имеют общих точек и потому система ( 3) несовместна. И наоборот, если система ( 3) несовместна, то гиперплоскости ( 1) и ( 2) не пересекаются. Но в силу теоремы Кронекера - Капелли система ( 3) несовместна тогда и только тогда, когда ранг г матрицы системы меньше ранга г расширенной матрицы. [48]