Cтраница 1
Теорема Банаха ( принцип сжатых отображений) служит мощным методом установления сходимости в обширной области применения аппарата приближений ( пп. [1]
Теорема Банаха показывает, что оператор I - U, мало отличающийся от тождественного оператора /, имеющего непрерывный обратный ( / - /), сам имеет непрерывный обратный. Этот факт поддается обобщению. [2]
Теорема Банаха - Штейнгауза приводит к следующему критерию () - слабой сходимости. [3]
Теорема Банаха ( принцип сжатых отображений) служит мощным методом установления сходимости в обширной области применения аппарата приближений ( пп. [4]
Поэтому теорема Банаха - Алаоглу показывает, что множество / С слабо компактно. [5]
Доказательство теоремы Банаха - Мычельского мы начнем с замечания о том, что для доказательства свойства Бэра у всех множеств действительной прямой вполне достаточно доказать следующее утверждение: каждое множество X s R либо само имеет первую категорию, либо же найдется интервал / ( ненулевой длины) прямой R такой, что разность / - X является множеством первой категории. [6]
Доказательство теоремы Банаха - Мычельского закончено. [7]
По теореме Банаха о неподвижной точке F имеет в X единственную неподвижную точку. [8]
По теореме Банаха об обратном операторе существует обратный оператор уА - 1х, который также является линейным и ограниченным. [9]
По теореме Банаха оператор А ограничен, что и требовалось установить. [10]
В условиях теоремы Банаха - Штейнгауза семейство pi iei оказывается ограниченным на некоторой окрестности нуля ( в случае банахова Е - на каждом шаре), ввиду чего саму теорему часто называют принципом равномерной ограниченности ( в случае банахова пространства получаем рг ( х С х ( Cconst; / 6 /), или, что эквивалентно, - ограниченность норм для семейства ргЬе /) - Равномерная ограниченность семейства полунорм в любом ЛТП эквивалентна равностепенной непрерывности. [11]
В силу теоремы Банаха - Хана достаточно доказать теорему для случая, когда TRl. Действительно, пусть это сделано и р, и v - две цилиндрические меры со значениями в ЛВП Т, обладающие совпадающими преобразованиями Фурье; тогда, каков бы ни был линейный непрерывный функционал / на Т, f ( i ( g)) f ( v ( g)) для всех g G. [12]
Тогда по теореме Банаха - Штейнгауза нормы Ц & п функционалов 3 - п ограничены. Полученное противоречие завершает доказательство утверждения. [13]
В следующем варианте теоремы Банаха - Штейнгауза кате-горные соображения используются не для полных метрических пространств, а для компактного множества. При этом существенную роль играет также условие выпуклости ( см. упр. [14]
Эта ситуация противоречит теореме Банаха - Штейнгауза. [15]