Cтраница 4
Достаточность сразу же следует из формулы x ( t) U ( t) xg; необходимость - из теоремы Банаха - Штейнгауза. [46]
Кроме того, как и выше, оператор U есть оператор сближения и можно сослаться на замечание 3 к теореме Банаха. [47]
Показать, что А: С - С, и, убедившись, что Л есть оператор сжатия, применить теорему Банаха о неподвижной точке. [48]
Хорошо известны приложения теоремы Шаудера о неподвижной точке, являющейся обобщением классической теоремы Брауэра и в свою очередь обобщенной А. Н. Тихоновым; теоремы Банаха о сжимающих отображениях и всевозможные ее обобщения; приложения метода Лере - Шаудера. Их дальнейшее развитие в работах Смейла, Атьи, Браудера позволило перенести упомянутые результаты на поля операторов; в их конструкции центральное место принадлежит компактности. [49]
Доказательства остальных двух теорем о свойствах регулярности - теоремы Девиса и теоремы Мычельско-го - Сверчковского - во многом следуют изложенному доказательству теоремы Банаха - Мычельского. В особенности большое сходство с последним имеет доказательство теоремы Девиса о совершенных подмножествах, которое мы сейчас представим. [50]