Cтраница 3
Наличие входящих в требуемую теоремой Нетер группу преобразований симметрии зависит, конечно, от природы физической системы. Однако уже сделанные выше общие допущения позволяют утверждать, что для рассматриваемых нами ( замкнутых. В соответствии с этим у всякой замкнутой системы должны существовать 7 сохраняющихся величин, отвечающих указанным преобразованиям. Если система такова, что она допускает еще и другие преобразования симметрии, то сохраняющихся величин может оказаться больше - с одним таким примером мы встретимся во второй части курса при рассмотрении электромагнитного поля. [31]
Это и есть точное утверждение теоремы Нетер. [32]
Начнем с рассмотрения частного случая теоремы Нетер - Сколема, из которого затем будет выведен общий результат. [33]
Прежде чем переходить непосредственно к теореме Нетер, обсудим уравнения поля в достаточно общем виде. [34]
Операторы момента легко вычисляются согласно теореме Нетер из действия (2.1), после чего удобно перейти к калибровке светового конуса. [35]
Отождествление величин, выступающих в теореме Нетер, с физическими величинами, известными из механики ( энергия, импульс, момент импульса), равносильно систематизации этих величин. Такая систематизация базируется: 1) на аналогии с частной теорией относительности, где эти величины уже введены в теории поля [ см. ( Иваненко и Соколов, 1952); ( Ландау и Лифшиц, 1960); ( Боголюбов и Ширков, 1957) ]; 2) на тех конкретных преобразованиях, которым эти величины соответствуют в теореме Нетер в пределе частной теории относительности ( трансляции, повороты и пр. [36]
В классической ( неквантовой) физике теорема Нетер доказывается лишь для бесконечно малых преобразований. [37]
ЗАМЕЧАНИЕ 3: Мы применили технику теоремы Нетер, чтобы найти величины, сохраняющиеся в силу инвариантности действия относительно преобразований полной группы Лоренца. Та же техника применима и для случая каких-либо других непрерывных преобразований, относительно которых есть основания требовать инвариантности действия. Вычисления даже упрощаются, поскольку преобразование не затрагивает координаты. [38]
Так же, как геометрический вариант теоремы Нетер, обсуждавшийся в гл. Нетер устанавливает соответствие между законами сохранения и вариационными симмет-риями. [39]
Это соотношение известно под названием второй теоремы Нетер об изоморфизмах. [40]
Это утверждение является частным случаем так называемой теоремы Нетер, которую можно сформулировать следующим образом. [41]
Очевидно, codef ft rgft, вследствие теоремы Нетер. [42]
Утверждение ( i) есть частный случай теоремы Нетер - Сколема. [43]
Покажем теперь, как, используя только теорему Нетер, можно получить все законы сохранения ( первые интегралы), которые были установлены выше из иных соображений. [44]
Мы обсуждаем здесь - ортодоксальный подход к теореме Нетер, восходящей к работе самой Нетер, и усовершенствуем лишь ее математическую формулировку. Вместе с этим нужно указать на существование другого подхода к этой теореме, часто применяемого в классической и в квантовой механике. В этом случае исследуется не инвариантность действия при преобразовании координат, когда физическая система остается прещней, а неизменность этой величины при движении физической системы относительно фиксированной системы координат. В общей теории относительности движения физических систем как целого относительно фиксированного пространства не всегда возможны ввиду неоднородности искривленного пространства, но инвариантность действия задается тензорным характером теории, так что ортодоксальная форма теоремы Штер здесь остается в силе. Кроме того, в малом риманово пространство проявляет те же свойства однородности, что и псевдоэвклидово, так как в соответствующие соотношения не входит кривизна, и это допускает формулировку дифференциальных законов сохранения. К этому вопросу мы вернемся позднее. [45]