Cтраница 2
Этим завершается доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке. [16]
Сначала займемся расширением теоремы Брауэра о неподвижной точке на области, отличные от симплексов. [17]
Из неравенства (3.27) и теоремы Брауэра вытекает утверждение следующей теоремы. [18]
Для того чтобы доказать теорему Брауэра о неподвижной точке, используя лемму Шпернера, мы должны указать систематический способ помечивания точек подразделения. Это может быть сделано геометрически, но это же можно сделать более просто и компактно в терминах координат. [19]
Доказательство можно получить с помощью теоремы Брауэра о неподвижной точке: любое непрерывное отображение замкнутого ограниченного выпуклого множества в себя оставляет неподвижной хотя бы одну точку этого множества. Однако таких условий недостаточно, чтобы гарантировать устойчивость и единственность стационарного состояния. Для этого необходимо сделать более детальные предположения о структуре функций му ( с) - ( Заметим, что до сих пор рассматривались ограничения, налагаемые лишь общими контрольными условиями. [20]
Тем самым завершается и доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке в той степени общности, как это описано в первом введении. Благодаря тому, что для индекса отображения дается точное значение 1, эта теорема в некотором смысле сильнее, чем теорема Брауэра о неподвижной точке, точно так же, как и теорема об индексе в некотором смысле сильнее, чем лемма Шпернера. Он также содержится в [2] и более или менее явно формулируется в [4], в той части этой работы, которая относится к лемме Шпернера. [21]
Это замечание будет использовано при доказательстве теоремы Брауэра, к которой мы сейчас приступаем. [22]
Приложения будут включать новый подход к теореме Брауэра о неподвижной точке с точки зрения первого введения, набросок доказательства основной теоремы алгебры ( о том, что каждый многочлен положительной степени имеет но крайней мере один нуль в комплексной плоскости) и набросок доказательства теоремы о том, что каждое непрерывное поле касательных векторов на 2-сфере обладает по крайней мере одним нулевым вектором. Из последней теоремы может быть получен такой результат: каждое непрерывное отображение 2-сферы в себя обладает либо неподвижной точкой, либо такой точкой, образ которой является ее антиподом. [23]
Строго говоря, в доказательстве леммы (19.5) теорема Брауэра используется вместе с другим результатом, относящимся к границе 2 шара U. [24]
Приводимое ниже интуитивно очевидное утверждение является типичным приложением теоремы Брауэра о неподвижной точке. [25]
Я думаю, читатель согласится с тем, что теорема Брауэра - Судзуки и 7 -теорема являются замечательными иллюстрациями силы, глубины и элегантности теории Брауэра модулярных характеров и блоков характеров. [26]
Топологическая часть этого метода заключается в применении соответствующих тонких следствий теоремы Брауэра о неподвижной точке. [27]
Одной из самых популярных теорем нелинейного анализа, несомненно, является теорема Брауэра о неподвижной точке. [28]
Цитированная выше теорема Лебега-Брауэра тесно связана с другой знаменитой топологической теоремой - с теоремой Брауэра о неподвижных точках, утверждающей, что при всяком непрерывном отображении л-мерного элемента в самого себя имеется хотя бы одна точка, совпадающая со своим образом. Эта теорема была значительно обобщена Т и-х о н о в ы м [ б ], распространившим ее на бесконечно-мерные аналоги л-мерного элемента. [29]
Теоремы о неподвижной точке, требующиеся для осуществляемых здесь рассмотрении, являются бесконечномерными обобщениями теоремы Брауэра о неподвижной точке, утверждающей, что непрерывное отображение замкнутого шара я-мерного пространства Rn в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку. [30]