Cтраница 4
По теореме Брауэра это отображение имеет неподвижную точку, которая, как это было выяснено в ходе теоремы Нэша, является ситуацией равновесия. [46]
Rn, редко применяются в функциональном анализе, где обычно Е - бесконечномерное подпространство некоторого функционального пространства. Позднее Шаудер распространил теорему Брауэра на случай, когда Е - выпуклое компактное подмножество нормированного пространства. Вскоре после этого Тихонов перенес результат Шаудера с нормированных пространств на произвольные локально выпуклые пространства. [47]
Предложенное фон Нейманом доказательство равенства ( 1) является весьма сложным и неконструктивным. Оно опирается на теорему Брауэра о неподвижной точке. Однако прошло еще десять лет, прежде чем Билль [1] обнаружил связь между этой игровой проблемой и теорией выпуклых множеств и дал элементарное доказательство равенства мини-максов. [48]
Всякое выпуклое ограниченное замкнутое множество в Rn гомеоморфно некоторому fe - мер-ному симплексу. Поэтому для него верна теорема Брауэра. [49]
К первым теоремам такого типа относятся те, в которых Е - подмножество пространства Rn, а отображение и: Е - - Е непрерывно. Так, например, теорема Брауэра ( § 0.5) устанавливает существование неподвижной точки в случае, когда Е - замкнутый единичный шар в Rn, а и - непрерывное отображение. Ясно, что в любой подобной теореме о неподвижной точке Е можно заменить любым его гомеоморфным образом. [50]