Cтраница 3
Для доказательства в качестве Т нужно рассмотреть оператор сдвига по траекториям системы за период, воспользоваться теоремой Брауэра и общим принципом. [31]
Механизм проявления устойчивости привычен и ясен, возможно, благодаря внедрению в наше сознание интуиции, опирающейся на теорему Брауэра и принцип сжатых отображений Банаха. Асимптотическая устойчивость всегда влечет за собой устойчивые равновесия или устойчивые периодические движения. Асимптотически устойчивое ограниченное движение - это либо устойчивое состояние равновесия или устойчивое периодическое движение, либо движение, асимптотически приближающееся к одному из них. [32]
Брауэра не содержит никаких указаний на способ фактического нахождения неподвижной точки; гсм самым и теорема Пзша, которая опирается на теорему Брауэра самым существенным образом, не дает путей к нахождению ситуаций равновесия. Вместе с гем, все методы приближенного нахождения неподвижных точек в непрерывных отображениях компактов ( особенно выпуклых) в себя могут быть использованы для приближенного решения конечных бескоалиционных игр. [33]
Для любой области из х 0, не имеющей общих точек с осью Ох, это следует сразу из классической теоремы о неявных функциях и теоремы Брауэра. [34]
Покажите, что каждый из приведенных выше двух фактов, равно как и теорема о том, что dim / n, влечет за собой теорему Брауэра о неподвижной точке. [35]
В этом пункте вместо рассуждений, использующих теорему о неявных функциях и специальный характер наших отображений, можно непосредственно применить знаменитую топологическую теорему, а именно теорему Брауэра об инвариантности области при непрерывном и взаимно однозначном отображении. Эта теорема имеет долгую историю, и мы ничего не выиграем, если будем игнорировать ее существование и использовать менее эффективные средства. Поводом к ее доказательству послужило следующее ( на первый взгляд, несколько тревожное) открытие: существуют взаимно однозначные ( но не непрерывные) или же - кривая Пеано - непрерывные ( но не взаимно однозначные) отображения отрезка на квадрат. До этого были очень модны обозначения типа со2, подразумевающие, что со2 значительно больше, чем со. Эти вопросы изучаются в теории функций действительного переменного и в теоретико-множественной топологии. [36]
Сам Брауэр начал размышлять в этом направлении, в частности, потому, что очень придирчиво и болезненно относился к неконструктивности доказательства своей теоремы из области топологии, теоремы Брауэра о неподвижной точке. Эта теорема утверждает, что, если вы возьмете круг - то есть окружность вместе со всеми точками внутри нее - и будете непрерывно двигать его внутри области, где он находился изначально, то найдется по крайней мере одна точка круга, - называемая неподвижной точкой, - которая окажется точно там же, откуда она начала движение. Не ясно, где именно располагается эта точка, и может ли их быть несколько - теорема говорит только о существовании такой точки. Среди математических теорем существования, эта, на самом деле, носит довольно конструктивный характер. Трудность в случае Брауэра была аналогична той, что возникает в следующей задаче: найти точки, в которых / обращается в нуль, если известно, что / - действительная непрерывная функция действительной переменной, которая принимает как положительные, так и отрицательные значения. Стандартная процедура заключается в последовательном делении пополам отрезка, на котором функция меняет свой знак; но решение о том, какое именно промежуточное значение принимает функция ( положительное, отрицательное или нулевое), может оказаться неконструктивным в том смысле, которого требует Брауэр. [37]
Однако ее еще нельзя использовать для доказательства существования периодического решения с помощью принципа тора, так как на ее границе располагается состояние равновесия, и может оказаться, что, применяя теорему Брауэра, мы докажем существование неподвижной точки - начала координат. [38]
Чтобы сохранить единообразие рассуждений, проводимых в этой книге, - а все они имеют теоретико-множественный характер, - мы выведем равенство ind IndR dim Л п ( довольно легко) из теоремы Брауэра о неподвижной точке. Доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке тоже требует некоторых комбинаторных или алгебраических рассуждений, но сам результат, вероятно, известен большинству читателей. Для полноты книги мы приводим элементарное комбинаторное доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке в приложении к этому параграфу. [39]
Вот почему, несмотря на то что, как выяснилось из исследований Кантора, куб можно взаимно однозначно отобразить на квадрат, такое отображение не может быть взаимно непрерывным, ибо согласно теореме Брауэра имеющий три измерения куб не гомео-морфен квадрату с его двумя измерениями. Брауэр доказал также так называемую теорему о неподвижной точке, играющую большую роль в приложениях топологии: каждое непрерывное отображение замкнутого шара в себе оставляет неподвижной по крайней мере одну его точку. [40]
В этом пункте рассмотрим три важнейших приложения полученных нами результатов; остановимся хотя и на не очень существенном дальнейшем обобщении ( оно изложено в литературе, но требует некоторого дополнительного исследования, однако без привлечения новых методов); затем перейдем к анонсированному Шаудером и Лере [1] обобщению, аналогичному шаудеровскому обобщению [19] теоремы Брауэра о неподвижной точке, и наконец, заключим изложение замечанием относительно еще одного метода, связанного с теми же приложениями и основанного на интегрировании телесных углов. [41]
Теперь мы используем следствие с для доказательства одной теоремы, которая принадлежит Брауэру и устанавливает точное соотношение между экспонентой и индексом Шура. Теорема Брауэра показывает, что ничего больше в общем случае утверждать о связи между Ind Л и Ехр А нельзя. [42]
Чтобы сохранить единообразие рассуждений, проводимых в этой книге, - а все они имеют теоретико-множественный характер, - мы выведем равенство ind IndR dim Л п ( довольно легко) из теоремы Брауэра о неподвижной точке. Доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке тоже требует некоторых комбинаторных или алгебраических рассуждений, но сам результат, вероятно, известен большинству читателей. Для полноты книги мы приводим элементарное комбинаторное доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке в приложении к этому параграфу. [43]
По теореме Брауэра об инвариантности области, примененной к гомеоморфизму Ехр, его образ открыт в X, а так как поверхность X связна, то Ехр Д X. [44]
Отсюда нетрудно вывести, что замкнутая область v ( x, у, г) - с гомеоморфна шару. По теореме Брауэра преобразование Т имеет неподвижную точку. Это и доказывает теорему. [45]