Cтраница 2
Перечисленные выше исследования опирались только на теорему Бэра о категории и аналогичные соображения, поэтому указанные результаты остаются в силе для полных метризуемых топологических векторных пространств. [16]
Приведенное в этой книге доказательство оснопано на теореме Бэра 1 2.2. В случае счетных теорий теорема Бэра применяется к компактным пространствам со счетной базой. В этом случае доказательство теоремы Бэра эффективно. [17]
Бендиксон доказывает эту теорему, не пользуясь теоремой Бэра, см. Успеха математических наук, вып. [18]
Этот пример представляет интерес в связи с теоремой Бэра, эквивалентной тому, что пересечение счетного множества открытых всюду плотных множеств в полном метрическом пространстве всюду плотно. При доказательстве этой теоремы строится убывающая последовательность замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, а потому она имеет непустое пересечение. Таким образом, если шары уменьшаются, то они должны иметь общую точку. В противном случае такая точка может и не существовать. [19]
Утверждение ( а) следует из теоремы 2.11 и теоремы Бэра, согласно которой Y является множеством второй категории в себе. [20]
В качестве последнего приложения общего метода мы рассмотрим одну теорему Бэра, относящуюся к теории структур. H называются структурно изоморфными, если между их подгруппами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором пересечение двух пбдгрупп из одной группы переходит в пересечение двух соответствующих подгрупп другой. [21]
Приведите пример подпространства X на плоскости, для которого справедлива теорема Бэра о категории, несмотря на то что X не метризуемо полной метрикой. [22]
Предостережение 2.8. Следует иметь в виду, что если рассматриваемые в теореме Бэра множества не предполагать открытыми, то их пересечение может быть не только не всюду плотным, но даже пустым. [23]
Так как компактное пространство всегда обладает счетной базой [45], то по теореме Бэра получаем следующее свойство. [24]
Тогда X ( ( ] Еп) U ( US /) что противоречит теореме Бэра. [25]
Приведенное в этой книге доказательство оснопано на теореме Бэра 1 2.2. В случае счетных теорий теорема Бэра применяется к компактным пространствам со счетной базой. В этом случае доказательство теоремы Бэра эффективно. [26]
Во многих приложениях условие, что В является множеством второй категории, проверяется с помощью теоремы Бэра. [27]
А, () дополнение всякого множества первой категории всюду плотно, откуда мы приходим к наиболее распространенной формулировке теоремы Бэра: всякое полное метрическое пространство есть множество второй категории. [28]
Так как отрезок М [ а, Ь ] есть полное пространство ( 3.73 в), мы получили бы противоречие с теоремой Бэра. [29]
У с топологией, индуцированной метрикой р, обладает интересными свойствами и весьма полезно, причем главным образом потому, что ( как мы увидим в следующем параграфе) в нем справедлива теорема Бэра о категории, когда ( У, р) - полное пространство. Отметим также, что ( как показано ниже в теореме 4.2.17) для компакта X топология, индуцированная метрикой р, совпадает с компактно-открытой топологией и, следовательно, не зависит от выбора конкретной метрики р на пространстве У. [30]