Cтраница 4
Напомним, что остаточное множество - это или открытое плотное множество, или, более общо, счетное пересечение таких множеств. Ясно, что счетное пересечение остаточных множеств есть остаточное множество. Заметим, что, согласно теореме Бэра о категориях, типичное свойство обязательно имеет место для плотного множества точек. С другой стороны, свойство может быть справедливо для плотного множества точек и не быть типичным. Например, иррациональность является типичным свойством вещественных чисел, а рациональность - - не является. [46]
Точка х 6 U называется регулярной, если df ( х) сюръективно; в противном случае х называется критической точкой. R - регулярное значение, если каждая ж б / 1 ( с) является регулярной точкой; в противном случае с - критическое значение. Подмножество в R называется остаточным, если оно содержит счетное пересечение открытых плотных подмножеств. По теореме Бэра каждое остаточное подмножество в R плотно. [47]
Но каждое множество ASn ( 0) компактно, поскольку оператор А вполне непрерывный, а шар S, ( 0) - ограниченное множество. Кроме того, известно ( см. следствие из теоремы 6, гл. Таким образом, полное нормированное пространство R ( А) представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств. Это приводит к противоречию с теоремой Бэра о категориях ( см. теорему 9, гл. Поэтому, действительно, множество R ( А) не является замкнутым. [48]
Куратовский в [1933] доказал теоремы 4.3.3, 4.3.10 и 4.3.13; в [1930] он обнаружил, что условие теоремы Кантора достаточно для полноты. Пополнение метрического пространства было описано Хаусдорфом в [1914] ( единственность была отмечена в [1927]); конструкция Хаусдорфа ( см. задачу 4.5.6) связана с теорией вещественных чисел Кантора-Мерэ. Теорема 4.3.24 легко следует из факта, установленного Лаврентьевым в [1924] ( для подмножеств евклидовых пространств - Мазуркевичем в [1916]), что свойство быть 06-множеством в полном пространстве топологически инвариантно. Теорема 4.3.26 была доказана Чехом в [1937]; из нее следует, что теорема Бэра о категории имеет место для всех пространств, метризуемых полной метрикой ( ср. [49]
Это не единственный случай, когда относительно вободная группа может быть прямым произведением. Хоутона ( не опубликовано) следует, что каждая свобод - 1ая группа F & ( 21т21) имеет нетривиальный центр, который, ели т и взаимно просты, выделяется в группе прямым множителем. Конечно порожденные свободные группы много - Зразия, порожденного группой икосаэдра, также являются Прямыми произведениями ( Шейла Оутс [1]; см. также стр. Относительно свободных групп неразложимы в прямое произ - едеиие. Для абсолютно свободных групп это хорошо извест - Яая теорема Бэра и Леви ( см. А. Г. Курош, стр. [50]