Теорема - вейерштрасс
Cтраница 3
По второй теореме Вейерштрасса функция f ( х) достигает на [ х - 1; xj своих точных граней, и, следовательно, mi и / И - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке. Поэтому сумма S равна площади заштрихованной на рис. 94 ступенчатой фигуры, описанной около криволинейной трапеции, а сумма s равна площади заштрихованной на рис. 95 ступенчатой фигуры, вписанной в данную криволинейную трапецию. [31]
Тогда по теореме Вейерштрасса она имеет предел. [32]
Отсюда по теореме Вейерштрасса ряд (32.1) сходится равномерно, а его сумма, которую мы обозначим через / ( ж), является непрерывной на всей прямой функцией. [33]
Таким образом, теорема Вейерштрасса эквивалентна указанной алгебраической теореме. Вообще все свойства всякой непрерывной функции аналитически содержатся в свойствах множества многочленов, которые равномерно сходятся к этой функции. Достаточно любого частного множества многочленов, бесконечно приближающихся к данной функции, чтобы определить эту функцию; но среди всех таких множеств многочленов есть одно особенно важное - это множество наименее уклоняющихся от данной функции многочленов Чебышева, которые быстрее всего сходятся к рассматриваемой функции. Так, например, распределение нулей этих приближающих многочленов имеет очень интересную связь с природой самой функции. Чтобы не возвращаться к этому еще мало изученному вопросу, я представляю здесь вниманию молодых исследователей один из недавно полученных мною результатов: какова бы ни была функция, корни соответствующих приближающих многочленов можно по желанию приближать или удалять от рассматриваемого отрезка, но между модулями и аргументами существуют инвариантные соотношения, характеризующие это распределение корней. [34]
 |
Иллюстрация случаев, когда верхняя грань I функции I ( х достигается при. [35] |
D следует из теоремы Вейерштрасса: непрерывная функция, определенная на замкнутом, ограниченном ( компактном в себе) множестве г достигает на нем как верхней, так и нижней грани. Так как нас интересует только верхняя грань, то требование непрерывности можно несколько ослабить, заменив его требованием полунепрерывности сверху. [36]
Отметим, что теорема Вейерштрасса дает достаточные условия оптимума. Однако задачи, в которых условия теоремы не выполняются, также могут иметь решения. [37]
Таким образом, теорема Вейерштрасса устанавливает характеристическое свойство непрерывных и только непрерывных функций. [38]
Отметим, что теорема Вейерштрасса устанавливает только сам факт существования предела, но не дает метода его нахождения. Тем не менее для некоторых последовательностей факт существования предела позволяет найти его. [39]
Подчеркнем, что теорема Вейерштрасса не дает способа нахождения предела. Но в ряде случаев для вычисления предела достаточно знать, что предел существует. [40]
Аналогичное следствие из теоремы Вейерштрасса для случая функции двух переменных выведено нами в следующем параграфе. [41]
Хотя некоторые доказательства теоремы Вейерштрасса имеют конструктивный характер, получаемый полином рп обычно столь высокой степени, что пользоваться им непрактично. Далее, теорема Вейерштрасса ничего не говорит о существовании удовлетворительного интерполяционного полинома для заданного множества точек ( A J, t /) l - И хотя утешительно знать, что некоторый полином аппроксимирует f ( x) с заданной точностью на всем интервале [ а, Ь ], нет гарантии, что такой полином можно найти посредством практичного алгоритма. [42]
Вторая часть доказательства теоремы Вейерштрасса проводится так. [43]
Тогда тригонометрический вариант теоремы Вейерштрасса утверждает, что каждую функцию из пространства CjR) мжно с любой точностью равномерно на F аппроксимировать такими тригонометрическими полиномами. [44]
Чтобы теснее связать теорему Вейерштрасса с кругом идей Чебышева, можно дать ей алгебраическое доказательство. [45]
Страницы: 1 2 3 4