Cтраница 4
Я придаю существенное значение тому, что правые части дифференциальных уравнений считаются заданными на открытых множествах. В связи с этим четкое понимание того, что представляет собой открытое множество, совершенно необходимо для понимания теорем существования решений обыкновенных диффере-п циальных уравнений. [46]
В математическом анализе, в линейной алгебре и в целом ряде других разделов довольно часто используется метод последовательных приближений. Он широко применяется при доказательстве теорем существования решений дифференциальных и интегральных уравнений и для получения приближенных решений различных уравнений. Обобщение этого метода на случай операторных уравнений в полных метрических пространствах было предложено С. Это обобщение носит название принципа сжатых отображений, к доказательству которого мы и приступим. [47]
Соотношение (1.11) является интегральным уравнением Фред-гольма второго рода для поверхностной плотности тока па идеально проводящем теле. В силу разрешимости исходной краевой задачи (1.1) - (1.2) при любом способе возбуждения полученное интегральное уравнение (1.11) разрешимо для любой функции jnePB, определенной заданным способом возбуждения. Может показаться, что, ссылаясь на теорему существования решения краевой задачи (1.1) - ( 1 - 2), мы получаем замкнутый круг рассуждений, так как обычно сама теорема существования доказывается сведением краевой задачи к интегральным уравнениям. Однако при доказательстве теоремы существования можно строить интегральные уравнения с ядром, представляющим собой функцию Грина некоторой специальной области, что позволяет рассматривать и резонансный случай. Для скалярной задачи такое рассмотрение подробно проведено в гл. [48]