Cтраница 4
Иными словами, существуют сжимающееся и расширяющееся слоения1, касательные плоскости к которым образуют сжимающееся и расширяющееся поля плоскостей. Заметим, что здесь нельзя пользоваться теоремой Фробениуса, так как наши поля негладкие. [46]
В работе неоднократно используется закон плотностей Чеботарева, так что могло бы показаться, что используются аналитические соображения. Как заметил Дейринг [6], в этом случае теорема Фробениуса может быть доказана не аналитически. [47]
Используя ( с), легко получить саму теорему Фробениуса. [48]
Без труда можно показать, что [ ос ] является неприводимой, тогда и только тогда, когда можно с ненулевой вероятностью достигнуть любое состояние из любого другого состояния за конечное число шагов при использовании Q ( k) в качестве распределения на входе. Если [ а ] неприводима, то можно применить теорему Фробениуса, которая утверждает, что неприводимая ненулевая матрица с неотрицательными элементами имеет наибольшее положительное собственное значение К, соответствующее правому собственному вектору v ] и левому собственному вектору и, которые имеют положительные компоненты. [49]
Мы дадим обобщение локальной теореме существования, известное под названием теоремы Фробениуса. Доказательство будет сведено к стандартному случаю, изученному в гл. Читатель заметит, что для понимания доказательства необходимо знать только определение скобки от двух векторных полей. Удобно также привести формулировки в терминах дифференциальных форм, для понимания которых необходимо знать лишь локальное определение внешнего дифференцирования. Однако мы с самого начала доказываем эквивалентность условий на дифференциальные формы и условий на векторные поля и в дальнейшем не возвращаемся к этому вопросу. [50]
Эквивалентной формулировкой является изоморфизм И - Дп. Если основное поле есть поле вещественных чисел, то известно, что для Д имеется точно три возможности: Д Г, Д Г ( f) - поле комплексных чисел или Д - алгебра кватернионов ( теорема Фробениуса, см. Курош [1], стр. [51]