Cтраница 4
На первый взгляд естественно возникающая задача продолжения линейной формы л с подпространства Ж ( Т) на более широкое подпространство пространства Кт кажется разрешимой с помощью теоремы Хана - Банаха. И действительно, такое решение возможно. Однако такое продолжение далеко не единственно и, как правило, аналитически совершенно неудовлетворительно, ибо оно приводит к интегралам по конечно аддитивной мере, для которых нет мощной теоремы сходимости, характеристической для интегралов типа Лебега. [46]
Как уже отмечалось в § 26, замкнутое векторное подпространство в нормированном пространстве может не иметь дополнения. В качестве примера применения теоремы Хана - Банаха покажем, что конечномерное пространство всегда имеет дополнение. [47]
Пусть М - идеал в Fn, порожденный элементом А. Таким образом, можно воспользоваться теоремой Хана - Банаха и свести вопрос к доказательству того, что любая непрерывная линейная форма на Fn, аннулирующая М, аннулирует и В. [48]
Конечно, такие вещи, как теорема Хана - Банаха, преобразование Фурье, обобщенные функции или понятие спектра линейного оператора, стали обязательными для студентов-математиков. Однако идеи общей линейной топологии, основные понятия теории банаховых алгебр, достаточно развернутые формы спектральной теоремы пока не входят в обязательные программы. Прочтя ( или просто перелистав) книгу, можно получить приблизительное представление о состоянии некоторых классических ветвей функционального анализа. При этом ее выгодно отличает хорошее чувство меры: хотя автор является активно работающим специалистом по функциональному анализу, его учебник не перегружен результатами, представляющими интерес только для узкого круга знатоков. [49]
Задача о том, достаточно ли много на нормированном пространстве линейных ограниченных функционалов, сводится к задаче о продолжении линейного функционала с подпространства на все пространство. Утверждение о возможности такого продолжения ( теорема Хана - Банаха) дает решение этих задач. Эта теорема, как уже отмечалось, относится к числу трех основных принципов функционального анализа. [50]