Cтраница 1
Теорема Геделя о неполноте [1931] гласит, что теория чисел неполна; поэтому полная теория чисел является собственным расширением теории чисел. [1]
Теорема Геделя и теория алгоритмов, Докл. Наоборот, в определении канонических исчислений по Посту ( см. Formal reductions of the general combinatorial decision problem, в жури. A, A накладываются нек-рые дополнительные ограничения, так что на первый взгляд определение представляется более узким, чем определение Лоренцена. [2]
Теоремы Геделя, указывая на предел возможностей финитизма, направили значит, часть последовавших за ними исследований по новому пути: не отказываясь от осн. Шютте ( 1951) для доказательства непротиворечивости классич. Еще раньше Гедель ( 1932 - 33) показал непротиворечивость классич. [3]
Теорема Геделя о неполноте имеет исключительно важное значение для оснований математики. [4]
Теорема Геделя показывает, что это соображение применимо и к формализмам, рассматриваемым в теории доказательств, причем даже в том случае, когда в основу рассмотрения кладется финитная точка зрения. Если к исходным формулам этого формализма добавить формулу 1 Ух ( ( х) 0), то полученный формализм Рг - в предположении, что в исходном формализме F действует дедукционная теорема) - будет обладать тем свойством, что с доказательством не противоречивости F будет получаться и его непротиворечивость. [5]
Теорема Геделя и теория алгоритмов, Докл. Системы перечнслнмых множеств н их нумерации, Докл. [6]
Теорема Геделя - Россера является полностью финитной: ее доказательство ( если его привести полностью) показывает, как явно получить противоречие по доказательству какого-нибудь из утверждений т или - пт. [7]
Теорема Геделя демонстрирует, что такой подход в действительности не является логически состоятельным в рамках фундаментальной философии математики. Понятие математической истины выходит за пределы всей теории формализма. В этом понятии есть нечто абсолютное и данное свыше. И это как раз то, о чем трактует математический платонизм, обсуждаемый в конце предыдущей главы. Всякая формальная система имеет свойство сиюминутности и человеко-зависимости. Такие системы, безусловно, играют очень важную роль в математических рассуждениях, но они могут указывать только частично верное ( или приблизительное) направление к истине. Настоящая математическая истина выходит за пределы сотворенного человеком. [8]
Согласно теореме Геделя о неполноте [15], никакая система не может быть логически замкнутой: всегда можно найти такую теорему, для доказательства которой потребуется внешнее дополнение. Поэтому критерии выбора модели сложных объектов необходимо разделять на внутренние и внешние. [9]
Известная вторая теорема Геделя ( см. Метатеория) показывает, что для решения этой проблемы необходим выход за пределы ( соответствующей) теории множеств. [10]
Ошибка: Теорема Геделя [1932-33] не имеет места для исчисления предикатЬв, как утверждает Гейтинг на стр. [11]
В действительности теорема Геделя носит более частный характер, поскольку от формальной системы того типа, который рассматривал Гедель, требовалась адекватность по отношению к арифметическим утверждениям, а не математическим утверждениям вообще. [12]
При доказательстве теоремы Геделя о полноте мы опираемся на некоторый критерий неопровержимости, полученный ранее с помощью довольно длинного рассуждения. В специальной вставке мы показываем, кик упомянутую ссылку на этот критерий можно заменить более прямым рассуждением. [13]
Различные доказательства теоремы Геделя сравниваются в монографии Мостовского [1952], которая была недоступна автору при написании настоящей книги. [14]
Для доказательства упрощенной теоремы Геделя нам добится следующая лемма. [15]