Cтраница 3
Чтобы лучше понять доказательство полной теоремы Геделя, которое будет приведено в § 3, полезно рассмотреть внутренний механизм получения утверждения а с помощью теоремы 1.5 в только что изложенном доказательстве. [31]
Это рассуждение использует вторую теорему Геделя. [32]
Ахилл: Может быть, Теорема Геделя. [33]
Значит ли это, что Теорема Геделя не привносит ничего нового в наши размышления о собственном разуме. Мне кажется, что это не так, - некая связь здесь есть, но не в том мистическом и ограничительном смысле, как считают некоторые. Думаю, что процесс понимания Геделева доказательства с его произвольными кодами, сложными изоморфизмами, высоким и низким уровнями интерпретации и способностью к самоотражению может обогатить наше представление о символах и их обработке, что, в свою очередь, может развить наше интуитивное понимание мыслительных структур на разных уровнях. [34]
Последний иронический штрих для доказательства теоремы Геделя о неполноте потребовалось внедрить парадокс Эпименида прямо в сердце Оснований математики - бастиона, считавшегося недоступным для Странных Петель Хотя Геделева Странная Петля и не разрушила Оснований математики, она сделала их гораздо менее интересными для математиков, доказав иллюзорность цели, первоначально поставленной Расселом и Уайтхедом. [35]
Мне кажется, что перевод теоремы Геделя в другие области может навести нас на новые идеи, если мы договоримся заранее о том, что переводы - только метафоры и не должны пониматься дословно. С подобной оговоркой я вижу две основных аналогии, соотносящие Теорему Геделя с человеческим мышлением. Одна из них касается проблемы размышлений о собственной нормальности. Каким образом вы можете решить, что вы не сумасшедший. [36]
Появление в 1931 г. двух теорем Геделя о неполноте, в 1933 г. работы Тар-ского о понятии истины в формализованных языках, в 1934 г. эрбран-геделев-ского понятия обще-рекурсивной функции и в 1936 г. связанного с ним тезиса Черча возвещает уже новейшую эру, в которой математические средства применяются как для оценки прежних программ, так и в новых, не предвиденных прежде направлениях. [37]
Цель этой главы - доказать теорему Геделя о полноте ( первая форма) - теорему, обратную к теореме 14: любое непротиворечивое множество замкнутых формул имеет модель. Достаточно доказать эту теорему только для теорий. Действительно, пусть Г - произвольное непротиворечивое множество замкнутых формул. Тогда Т - теория первого порядка, причем Т непротиворечива, так как Г непротиворечиво. [38]
Благодаря нашему последнему рассмотрению утверждение второй теоремы Геделя о неполноте в применении к формализмам ( Z) и ( Z) получает некоторое позитивное дополнение. [39]
Как мы указывали, для доказательства теоремы Геделя достаточно ограничиться рассмотрением нормальных формул Сколема. Пусть 51 - нормальная формула Сколема, являющаяся тождественно истинной. Покажем, что в таком случае по крайней мере одна из формул & j выводима в исчислении высказываний. [40]
Более подробно о взглядах Вейля на теорему Геделя можно узнать из его работы, приведенной в прим. [41]
Чтобы доказать лемму, нужную нам для теоремы Геделя, мы построим содержательную теорию одного класса арифметических функций и предикатов и покажем затем, что каждый предикат этого класса нумерически выразим в формальной системе гл. [42]
Необычный взгляд на то, каким образом теоремы Геделя и Черча связаны с эпистемиологией и психологией. Заканчивается обсуждением понятий красоты и творческих способностей. [43]
Теперь изложим в том же стиле доказательство теоремы Геделя. Таким образом, возникает некоторое перечислимое множество, которое обычно задают как проекцию разрешимого множества. Именно, вводят некоторое понятие доказательства. При этом доказательства являются словами в некотором алфавите. Множество доказательств разрешимо, то есть есть алгоритм, отличающий настоящие доказательства от текстов, который таковыми не являются. [44]
Какое из этих самоотражений более всего напоминает Теорему Геделя. [45]