Cтраница 2
По второй теореме Геделя о неполноте отсюда следовало бы, что формализм ( Z), а тем более и ( Z), противоречив. [16]
Рассмотрим некоторые применения теоремы Геделя о полноте и ее следствий, значение которых выходит за рамки математической логики. [17]
Для такого использования теоремы Геделя о полноте тоже имеется некоторый финитный эквивалент. [18]
В случае второй теоремы Геделя необходимо тщательно следить за выполнением условий ее применимости к дедуктивному формализму. Крайзел 1), построивший в связи с этим следующий пример. [19]
Доказательство при помощи теоремы Геделя в меньшей степени неконструктивно. Неинтуиционистский шаг ( в нашем изложении) встречается в до-казательстве леммы 22, когда мы допускаем, что Fe H Qt или Ft H Qt. [20]
В моем изложении теоремы Геделя я опустил многие детали и к тому же оставил в стороне то, что относилось к неразрешимость вопроса о непротиворечивости системы аксиом и было исторически наиболее важной частью его доказательства. Моя задача состояла не в том, чтобы акцентировать внимание на проблеме доказуемости непротиворечивости аксиом, столь важной для Гильберта и его современников; я стремился показать, что специфическое утверждение Геделя - которое нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть исходя из аксиом и правил вывода рассматриваемой формальной системы - оказывается с очевидностью верным, если опираться в наших рассуждениях на интуитивное понимание смысла применяемых процедур. [21]
Мы сначала докажем теорему Геделя о полноте для полных теорий Генкина, а затем сведем общий случай к этому частному случаю. [22]
Чтобы полностью оценить теорему Геделя, необходим определенный контекст. [23]
Прежде чем доказывать теорему Геделя о полноте исчисления предикатов, мы должны приобрести некоторый опыт построения выводов в этом исчислении. [24]
Мы знаем по теореме Геделя ( § 42), что конкретная формальная система гл. IV не полностью формализует содержательную арифметику. [25]
Другая аналогия с Теоремой Геделя, которая кажется мне интересной, намекает на то, что мы не можем полностью понять собственного разума / мозга. Эта идея настолько сложна и нагружена ассоциациями на многих уровнях, что обсуждать ее надо с осторожностью. Это может означать общее ощущение того, как они работают, подобно тому, как автомеханик интуитивно ощущает, как работает мотор. Это может означать полное объяснение того, почему люди поступают так, а не иначе. Это может означать полное понимание физической структуры собственного мозга на всех его уровнях. Это может означать, что в некоей книге или на компьютере у нас есть подробная диаграмма устройства мозга. Это может означать точное знание того, что происходит в нашем мозгу на нейронном уровне в любой момент - возбуждение каждого нейрона, синаптические изменения и так далее. Это может означать создание программы, способной пройти тест Тюринга. Это может означать такое полное знание себя, что понятия подсознательного и интуитивного теряют смысл, поскольку становятся открыты взгляду. Это может означать также любую комбинацию из вышеприведенных вещей. [26]
Это утверждение называется теоремой Геделя о неполноте. [27]
Такие утверждения невозможны вследствие теоремы Геделя о неполноте. Современная математика рассматривает так называемые системы. Гильберт ввел в качестве такой системы язык, состоящий из конечного алфавита символов, определенной грамматики, с помощью которой формируются осмысленные утверждения, конечного числа аксиом и конечного числа правил для вывода теорем из аксиом и других теорем. В 1931 г. Гедель показал, что любая формальная система такого рода не может включать все истинные теоремы и поэтому не полна. Доказатель - ствр Геделя связано с парадоксом критянина Эпименида: Все критяне лжецы. Или, в иной формулировке: Это утверждение ложно - утверждение истинное, только если опо ложно. Гедель заменил понятие истинности понятием доказуемости: Это утверждение не доказуемо. Таким образом, либо ложность доказуема, что запрещено, либо истинное утверждение не доказуемо и, следовательно, формальная система не полна. В формальной системе нельзя доказать, что определенная последовательность двоичных единиц имеет сложность, более высокую, чем число бит в программе, используемой для нахождения этой последовательности. [28]
Клини доказывает различные варианты теоремы Геделя. Ниже приведены три из них. [29]
Для доказательства этого усиления теоремы Геделя целесообразно ввести предположение, что, кроме квантора всеобщности, формализм F содержит еще и квантор существования вместе с относящимися к нему формальными способами умозаключений. [30]