Cтраница 2
По-видимому, наибольшую славу Ферма принесло нацарапанное на полях Арифметики Диофанта утверждение, известное как великая теорема Ферма. Несмотря на трудность его доказательства, суть этого утверждения изложить несложно. [16]
Даже в этом простейшем нетривиальном случае функций одной переменной, по-видимому, нет простого доказательства великой теоремы, подобного тому, которое было дано в § 3 гл. Любая попытка голыми руками доказать сделанное утверждение, даже с одной только переменной t, приводит к подготовительной теореме Мальгранжа ( строгие источники) или, что эквивалентно, к теореме деления. [17]
Столь же просто формулируется и другая трудная л до сих пор не решенная задача - так называемая великая теорема Ферма. [18]
И если в большинстве случаев потомки, владевшие более сильными методами, сумели восстановить потерянные историей доказательства, то по крайней мере в одном случае - в случае Великой теоремы Ферма - им этого сделать не удалось. [19]
В счастливые годы перед первой мировой войной Геттингенская академия имела значительный, так называемый Вольфовский, фонд, который первоначально был установлен для присуждения премии в 100 000 марок за доказательство знаменитой великой теоремы Ферма по теории чисел. [20]
Несколько десятков лет назад великой теоремой Ферма заинтересовалась широкая публика и то в связи с учрежденной в 1909 г. в Германии большой денежной премией, которая должна была быть выплачена тому, кто докажет великую теорему Ферма или хотя бы на одном примере обнаружит ее ложность. [21]
В настоящем дополнении мы имеем в виду подробно изложить основную работу Куммера, содержащую доказательство теоремы Ферма для всех регулярных простых показателей, - работу, справедливо почитающуюся самым значительным из всего, что до сих пор сделано в направлении к доказательству Великой теоремы. Это изложение представляется нам не лишним по той причине, что мы не знаем не только в русской, но и в иностранной литературе такого изложения этого безусловно классического произведения, которое было бы доступно читателю, хотя бы даже знакомому с элементами теории алгебраических областей, но не являющемуся искушенным специалистом в этой ветви арифметики. Работа самого Куммера, помимо того, что она доступна только такому специалисту, содержит еще ряд неточностей и пробелов, заполнить которые может только хороший знаток; прекрасное изложение Гильберта в его известном Bericht. Бахма-на в его недавно вышедшей книге, специально посвященной теореме Ферма, настолько недоброкачественно в отношении логической отчетливости и строгости, что даже знатока может поставить втупик. Пусть чигатель судит, в какой мере приводимое ниже изложение является удовлетворительным. [22]
Это значит, что он представляет собой то самое одно отсутствующее направление, но он не обязательно есть х, просто он должен иметь ненулевой линейный член. Великая теорема в этой области ( теорема 8.6 ниже) гарантирует нам следующее. [23]
Пунктирная линия на циновке равна, очевидно, гипотенузе прямоугольного треугольника, катеты которого совпадают со сторонами двух квадратов, которые в совокупности и образуют весь остаток. Согласно великой теореме Пифагора, эта прямая должна быть стороной квадрата, площадь которого равна сумме площадей двух упомянутых выше квадратов. Теорема проиллюстрирована в правом верхнем углу рисунка. Определив эту длину, мы можем разрезать остаток циновки, как показано, двумя сплошными линиями и сложить затем из трех полученных частей нужный квадрат. Этим способом можно воспользоваться, чтобы сделать правильный квадрат из любых квадратных кусков. [24]
Эти заметки Ферма были опубликованы его сыном лишь через 5 лет после его смерти; он сам при жизни их не печатал. Среди этих заметок имеется также и великая теорема, о которой теперь идет речь, с припиской: я нашел воистину удивительное доказательство, но за недостатком места не могу его здесь привести. [25]
А вот какой: кривые ( Р) ( случай п2 мы здесь исключаем) не проходят ни через одну точку с рациональными координатами ( кроме точек с координатами 1 0 и 0 1); они извиваются, минуя всюду плотное множество точек плоскости с рациональными координатами, не задевая на своем пути ни одной такой точки. Это поистине замечательный факт, вытекающий из великой теоремы Ферма, если только эта теорема верна. [26]
Ферма, к-рому принадлежит ряд выдающихся открытий в теории диофантовых уравнений и в теории, связанной с делимостью целых чисел. Им была выдвинута гипотеза, получившая название Ферма великая теорема, и доказана теорема, известная как Ферма малая теорема, к-рая играет важную роль в теории сравнений и ее позднейших обобщениях. [27]
Доказанное нами в предыдущем параграфе предложение имеет значение не только частного случая. Оно легко позволяет значительно ограничить задачу полного доказательства Великой теоремы. [28]
Поскольку эти уравнения зависят от нескольких переменных, они могут иметь бесконечно много решений. Уравнение х3 4 - у3 z3 - частный случай великой Теоремы Ферма, о которой рассказывалось во введении и конце второй главы. Как мы видели, если ж, у и z - целые числа, удовлетворяющие этому уравнению, то одно из них должно быть равно нулю. Это специальный случай теоремы, впервые доказанный Эйлером в 1770 году. [29]
Ввиду того что очень многие конкретные вопросы ( например, великая теорема Ферма, § 13) и проблемы разрешимости сводятся к проблеме разрешимости для исчисления предикатов, много работ было посвящено этой проблеме, в результате чего были получены положительные результаты двух родов: ( а) редукции общей проблемы и ( Р) решения для частных случаев. [30]