Cтраница 3
Пьера Ферма издал книгу александрийского математика Диофанта, причем были перепечатаны также и примечания Пьера Ферма, оставленные им на полях одного из экземпляров этого сочинения. Одно из этих примечаний и содержит предложение, получившее наименование Великой теоремы Ферма. [31]
Для до-броуеровской логики являлось само собой разумеющимся, что, если и оставался совершенно нерешенным вопрос о правильности великой теоремы Ферма, то все же для всякого числа я либо существует три числа х, у, z такого рода, что х - j - У1 z, либо же для любых натуральных чисел имеет силу выражение xn - - yndpzn. Формулируя точнее эту самоочевиднейшую истину старой логики, согласно нашей новой концепции, мы получим следующее утверждение: существует закон ( в строгом установленном здесь смысле слова), ничего не порождающий из каждого числа я, либо порождающий три числа хп, уп, zn, - закон такого рода, что в первом случае для любых трех чисел х, у, z имеет силу выражение х - - уп ф г, а во втором случае хпп - - упп znn. При такой формулировке ( отвлекаясь от того, что это утверждение является теперь чем-то само собой разумеющимся) нет никакого смысла спрашивать, так ли обстоит дело или не так, в надежде встретить некоторое обстояние, дающее определенный ответ на наш вопрос. Здесь речь идет об абстракции суждения, которая имеет силу, поскольку закон построен и поскольку правомерны требуемые им свойства, являющиеся общими утверждениями. [32]
С тех пор прошло почти триста лет, и мы еще не имеем ни доказательства, ни опровержения Великой теоремы Ферма; и это несмотря на то, что, как уже сказано, задаче этой непрерывно посвящали и продолжают посвящать свое внимание многие крупные ученые и еще большее количество неспециалистов, которых соблазняет простота формулировки проблемы. [33]
Не ветер и не флаг - на самом деле, вообще ничто не движется, что следует из моей великой Теоремы. Она гласит: Мир Изменяется Исключительно Иллюзорно. А из этой Теоремы вытекает еще более великая Теорема, Теорема Зенона: Мир Ультранеподвижен. [34]
Объясняется это вполне понятным стремлением учителя математики или методиста внести свой вклад не только в решение педагогических проблем, но и в саму математику. При отсутствии научно обоснованной проблематики и математической эрудиции в научном плане это и приводит к попыткам решения проблем типа великой теоремы Ферма, трисекции угла или к попыткам создания боковых веточек, о которых пишет Клейн. Винить в этом следует не столько учителя или методиста, сколько математиков-профессионалов и математиков-популяризаторов, не позаботившихся о разработке проблематики, доступной и интересной для широких проблем любителей математики и в то же время представляющей какой-то интерес для современной науки. [35]
Но вместе с тем мы понимаем и то чувство высокой значительности, которое охватывает всякого ученого, стремящегося проникнуть в загадку Великой теоремы, ибо он стоит перед лицом самых основ арифметики, перед лицом тех величайших законов, которыми управляется мир чисел и на которых основано все наше знание об этом мире. [36]
Его имя заслуженно носит не только известная вам теорема из анализа. Великая теорема Ферма ( Уравнение хп - - у zn не имеет решений в натуральных числах при натуральном п, большем двух), не доказанная, правда, и поныне, лишь один из итогов его размышлений над проблемами теории чисел. [37]
Случайно ли обязаны мы возникновением этого здания теореме Ферма. Есть некоторые основания полагать, что это не случайно. Размышляя о Великой теореме Ферма, математический ум неизменно чувствует себя в кругу самых острых и существенных соотношений и закономерностей, какие только знает арифметика. Откуда является это чувство, чем оно обосновано и что оно нам может обещать, о чем свидетельствовать. [38]
Подчеркнем тот факт, что проблема ( в только что определенном смысле) имеет две существенные составляющие: вопрос со многими вариантами ответа и некоторое счетно-бесконечное множество конкретизации. Это определение более ограниченное, чем широко распространенное понимание слова проблема. Например, в этом смысле великая теорема Ферма проблемой не является, ибо имеет лишь одну конкретизацию. [39]
Во всяком случае следует отметить, что многие предложения, высказанные Ферма без доказательства и доказанные позднее его последователями, были доказаны именно этим способом. Этот же прием дал возможность доказать и некоторые простейшие частные случаи Великой теоремы, на чем мы несколько подробнее остановимся ниже; кстати, мы будем иметь случай подробно проследить конкретное применение метода бесконечного спуска. [40]
Между прочим, применение этой теоремы в теории групп было опубликовано только в 1941 году в тоненькой тетради Ученых записок Ивановского пединститута. Пробить дорогу для применений теоремы компактности, которую можно отнести к числу великих теорем математики, оказалось не так просто, и вряд ли кто другой мог указать ее, эту дорогу. Теперь, как хорошо известно, она породила не только локальные теоремы теории групп, но является и одной из важных теорем математического анализа. [41]
Арифметика Диофанта положила начало новой алгебре; в ней применялась буквенная символика и были введены отрицательные числа. Вместе с тем Арифметика послужила отправным пунктом и для теоретико-числовых исследований Нового времени: там были развиты методы решения неопределенных уравнений, получившие новую жизнь в работах Ферма, Эйлера, Якоби и Пуанкаре. Именно на полях Арифметики Диофанта написаны знаменитые замечания Пьера Ферма ( включая и его Великую теорему), послужившие программой для исследования по теории чисел в течение двух веков. Эти замечания впервые переведены на русский язык здесь. [42]
Формулы индусов представляют очень большую ценность. Прежде всего они показывают, что в случае п2 уравнение Ферма ( 1) имеет бесчисленное множество решений. Но этим их значение не исчерпывается: как мы сейчас увидим они с успехом могут быть применены к доказательству одного частного случая Великой теоремы Ферма. [43]
Допустимо ли, например, такое: А обладает свойством В, если при всех целых л2 уравнение х уп - z не имеет решений в целых положительных числах. Здесь истинность посылки эквивалентна утверждению Великой теоремы Ферма, которая до сих пор ни доказана, ни опровергнута. Использование таких правил вывода, особенно в приложениях, создает множество трудностей и поэтому обычно накладывается ограничение, состоящее в том, что правила вывода должны быть достаточно простыми. Под этим понимается следующее: для любого данного правила вывода и для любого множества слов а, а... [44]
Не ветер и не флаг - на самом деле, вообще ничто не движется, что следует из моей великой Теоремы. Она гласит: Мир Изменяется Исключительно Иллюзорно. А из этой Теоремы вытекает еще более великая Теорема, Теорема Зенона: Мир Ультранеподвижен. [45]