Cтраница 4
Цермело в имеющей решающее значение III аксиоме о подмножествах), большую точность, чем в казавшемся мне неудовлетворительном цермеловском определении. Попытка сформулировать эти принципы в виде аксиом образования множеств и выразить в явном виде требование, запрещающее существование всех множеств, кроме тех, которые допускают построение с помощью содержащихся в этих аксиомах конструктивных принципов, применяемых конечное число раз, не предполагая при этом известным понятие натурального числа, привела меня к далеко идущей и все более усложняющейся формализации, так и не доведенной до окончательного результата. Лишь в связи с общефилософскими идеями, к которым я в конце концов пришел после отхода от конвенционализма, мне удалось достичь ясного понимания того, что я столкнулся здесь со схоластической псевдопроблемой, и укрепиться в твердом убеждении ( в согласии с Пуанкаре, сколь ни мало я разделяю его философскую установку в остальных вопросах): представление об итерации - ряде натуральных чисел - составляет самую основу математического мышления; и это вопреки теории цепей Дедекинда, нацеленной на то, чтобы обосновать определение и умозаключение путем совершенной индукции силлогистически, без обращения к упомянутому выше наглядному представлению. Для того чтобы с помощью наших принципов можно было построить некоторую математическую теорию, необходим фундамент: какая-то основная категория и какое-то первичное отношение. Величине математики я усматриваю именно в том, что почти во всех ее теоремах в силу самой ее сущности всякий вопрос о бесконечном решается на уровне конечного; эта бесконечность математической проблемы базируется, однако, на том, что последний фундамент математики образуют бесконечный ряд натуральных чисел и связанное с ним понятие существования. Например, великая теорема Ферма сама по себе имеет смысл и либо истинна, либо ложна. Однако если я воспользуюсь каким-либо систематическим методом и начну подставлять по порядку все числа в обе части уравнения Ферма, то получить ответ на вопрос, истинна или ложна эта теорема, мне не удастся. [46]
Эта арифметизация характерна для так называемой Берлинской школы и, в частности, для деятельности Леопольда Кронекера. К этой школе принадлежали такие выдающиеся, плодотворные в области алгебры и теории алгебраических чисел математики, как Кроне-кер, Куммер и Фробенттус. Эрнст Куммер был приглашен в Берлин в 1855 г., чтобы заменить Дирихле. Он преподавал там до 1883 г., когда сам решил прекратить математическую деятельность, так как почувствовал, что его творческая продуктивность падает. Эта теория была создана отчасти в связи с попытками Кумме-ра доказать великую теорему Ферма, отчасти в связи с теорией Гаусса бпквадратичных вычетов, в которой понятие простых множителей перенесено в область комплексных чисел. [47]
Возникает вопрос, существует ли какое-нибудь ( неслучайное) число, которое может быть точно определено, но цифры которого нельзя предсказать. Утвердительный ответ дан в примере Шайтина. Пусть случайная последовательность из гербов и решек, возникающая при бросании монеты, или соответствующая ей последовательность из нулей и единиц, вводится в некоторую машину, а именно в машину Тьюринга. Вероятность того, что машина Тьюринга остановится в какой-то момент ввода случайной последовательности, и определяет число Шайтина. Теоретически машина может работать как угодно долго, потому что она не получает команд, заставляющих ее остановиться. Можно доказать, что число Шайтина неинтересно и цифры этого числа предсказать нельзя. В то же время это неинтересное число Шайтина обладает рядом интересных свойств. Например, если бы было известно несколько первых тысяч цифр в его десятичной записи, то тем самым мы получили бы решения некоторых классических нерешенных проблем в математике таких, как великая теорема Ферма и проблема Гольдбаха. [48]