Cтраница 1
Спектральные теоремы справедливы над любым вещественно замкнутым полем; наши доказательства сохраняются без изменений. Кроме того, эти доказательства разумным образом близки к тем, которые могли бы быть даны в анализе для гильбертовых пространств и компактных операторов. Существование собственных значений и собственных векторов, однако, должно быть доказано другим методом, например, с использованием теоремы Гельфанда, которую мы фактически доказали в гл. [1]
Спектральная теорема (4.46), ( 4.4 в), ( 4.4 г) или ( 4.4 д), которую мы здесь принимаем без доказательства1), является центральным утверждением, из которого следуют все дальнейшие результаты этого раздела. [2]
Спектральная теорема и остальное в свойстве 4 были на самом деле доказаны лишь в случае, когда собственные значения матрицы А различны. Тогда, очевидно, имеется п независимых собственных векторов, что обеспечивает диагонализуемость матрицы А. Тем не менее справедливо ( см. § 5.6), что даже при наличии кратных собственных значений эрмитова матрица по-прежнему имеет полный набор ортонормированных собственных векторов. [3]
Спектральную теорему 12.23 мы получим в качестве частного случая следующего результата, в котором речь идет не об индивидуальном операторе, а об алгебре нормальных операторов. [4]
Из спектральной теоремы для нормальных операторов следует, что N N - положительно определенный оператор. Тогда но предыдущей теореме оператор N - интегральный. [5]
Применим спектральную теорему для эрмитовых отображений. [6]
В доказательствах спектральных теорем б и 9 много общего, и это не случайно, поскольку эрмитовы и унитарные операторы входят в естественный, более широкий класс диагонализируемых операторов. [7]
Главное утверждение спектральной теоремы заключается в том, что каждый ограниченный нормальный оператор Т в гильбертовом пространстве порождает ( некоторым каноническим способом) разложение единицы Е на борслевских подмножествах его спектра а ( Т) и что оператор Т может быть восстановлен по Е при помощи процесса интегрирования типа описанного в теореме 12.21. Большинство результатов теории нормальных операторов опирается на этот факт. [8]
Фурье и спектральной теоремы. [9]
Итак, доказана спектральная теорема для симметрического вполне непрерывного оператора. [10]
Наиболее простым обобщением спектральной теоремы для конечномерною случая является ее аналог для вполне непрерывных операторов. [11]
Таким образом, доказана спектральная теорема для симметрического оператора в конечномерном пространстве. [12]
Таким образом, доказана спектральная теорема для линейного ограниченного симметрического оператора. [13]
Для унитарных операторов справедлива спектральная теорема, аналогичная теореме 11 для симметрических ограниченных операторов. [14]
Хорошую замену диагонализуемости представляет обычно спектральная теорема. Другой заменой, в некоторых отношениях более полезной, является замечательная теорема Вейля: она утверждает, что каждый эрмитов оператор в существенном диагональный. [15]