Cтраница 4
Настоящая глава посвящена спектральной теории операторов в гильбертовом и банаховых пространствах Важнейшими задачами этой теории являются утверждения о приведении изучаемых операторов к так называемому диагональному виду - спектральные теоремы, утверждения о полноте и базисности собственных векторов операторов, о свойствах спектра и собственных значениях. Наиболее изученным классом операторов являются вполне непрерывные операторы и их подклассы - ядерные операторы и операторы Гильберта-Шмидта. [46]
Гораздо важнее отметить, что многие операторы на бесконечномерных метрических пространствах, имеющие первостепенное значение в математике и физике, при выполнении ряда условий являются самосопряженными, причем для них справедлив естественный аналог спектральной теоремы в конечномерном случае. [47]
По аналогии с доказательством спектральной теоремы для ограниченных симметрических операторов можно получить и спектральную теорему для унитарных операторов, которые сейчас будут определены. Спектральная теорема для унитарных операторов будет существенно использована также при доказательстве спектральной теоремы для неограниченных симметрических операторов. [48]