Cтраница 3
Для полноты изложения авторы включили в книгу главу, посвященную основным задачам математической физики, где также приводятся необходимые для чтения книги сведения из функционального анализа и теории краевых задач для уравнений с частными производными. [31]
В нашей недавней заметке [1], посвященной построению теории бесконечных J-матриц, мы указали, что эта теория представляет, в частности, интерес еще тем, что она может служить алгебраической моделью для соответствующих построений в теории краевых задач с одним сингулярным концом. [32]
В теории дифракции электромагнитных волн большой интерес представляют исследования задач дифракции на телах, имеющих ребра или кромки. В теории краевых задач для уравнений в частных производных известно, что в областях, границы которых имеют ребра, кромки или угловые точки, для однозначной разрешимости краевых задач необходимо сформулировать условия, определяющие поведение решения в окрестности особой точки границы. Часто таким дополнительным условием может служить требование ограниченности решения краевой задачи в окрестности особой точки границы. [33]
Для строгого изучения этих вопросов применены теория обобщенных функций и методы решения некорректных задач. Приведены сведения из теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и основные понятия теории обобщенных функций. С помощью фундаментальной системы решений дифференциального оператора построены функции Грина и функции влияния для оболочек Кирхгофа - Лява и Тимошенко. Даны постановки задач о контакте оболочек между собой и сосесим-метричными жесткими штампами. Методом сопряжения построены обобщенные решения, поскольку классическое существует только для моделей, учитывающих трансверсальное обжатие. [34]
Приложения теории Нетера разнообразны. Она используется в теории краевых задач аналитических функций, в теории сингулярных интегральных уравнений, в теории уравнений с частными производными и в других разделах математики. Ним приводятся примеры применения теории операторов Нетера, а именно, на ее основе исследовано интегральное уравнение Фредгольма третьего рода, дано доказательство формулы Н.И.Муохеляшвили для индекса система сингулярных интегральных уравнений с ядром Кош, а также исследован один класс абстрактных операторов. [35]
Указанные трудности устраняются при рассмотрении частного, но важного класса операторов А, имеющих вполне непрерывный обратный. Получаемая для этого случая теория аналогична теории скалярных краевых задач. [36]
Здесь мы рассмотрим функцию Грина первой краевой задачи для уравнения Лапласа. Понятие функции Грина имеет важное значение в теории краевых задач для эллиптических уравнений. Функция Грина имеет четкий физический смысл, который мы поясним ниже. [37]
Книга Камке, помимо чисто справочного материала, содержит изложение ( правда, без доказательств) и ряда теоретических вопросов, относящихся к дифференциальным уравнениям, в том числе некоторых разделов теории, которые обычно не включаются в учебники по дифференциальным уравнениям. В частности, здесь содержится подробное изложение теории краевых задач и задач о собственных значениях. [38]
Как мы уже видели в главе VI, теория краевой задачи Римана в общем случае произвольного сложного контура и разрывных коэффициентов принципиально мало отличается от случая простых разомкнутых контуров. Учитывая тесную связь особых интегральных уравнений с краевой задачей Римана, того же нужно ожидать и для этих уравнений. [39]
При обосновании условий устойчивости ниже используются различные общие факты из теории краевых задач для линейных дифференциальных уравнений. Приведем здесь некоторые из них ( см., например, [248, 275, 456]), необходимые для дальнейшего. [40]
Как мы уже видели в § 41 - 46, теория краевой задачи Римана в общем случае произвольного сложного контура и разрывных коэффициентов принципиально мало отличается от случая простых разомкнутых контуров. Учитывая тесную связь особых интегральных уравнений с краевой задачей Римана, того же нужно ожидать и для этих уравнений. [41]
Применение пространств ВV позволяет обобщить ряд вопросов теории краевых задач и в то же время упростить их изложение. Помимо обобщения известных результатов в книге приводятся некоторые новые факты по теории краевых задач. Это относится, в частности, к квазилинейным эллиптическим уравнениям. [42]
Ряд моделей процессов на зерне, в слое, а также моделей теории горения и других при некоторых ограничениях можно описывать квазилинейным уравнением параболического типа второго порядка. В настоящей работе приводятся результаты, которые в известном смысле завершают теорию краевых задач для такого уравнения. [43]
К - некоторая постоянная, В настоящей главе мы имели дело почти исключительно со счетно аддитивными спектральными мерами, заданными на ст-поле 2, а тогда условие ограниченности выполняется автоматически. Эта ограниченность и счетная аддитивность тесно соприкасаются с вопросом о безусловной сходимости разложений по собственным функциям, и многие факты теории краевых задач для дифференциальных уравнений подсказывают, что могла бы быть полезной несколько более общая теория. Такая теория была развита Лянце 12 ] в случае гильбертова пространства. [44]
Вопросы, относящиеся к основному материалу книги - решению краевых задач, мы будем излагать подробно, опираясь на изложенную ранее теорию краевых задач аналитических функций. [45]