Cтраница 1
Теория категорий развивалась быстро. Цель этой книги - представить те ее идеи и методы, которые ныне могут эффективно применяться математиками, работающими во многих других областях. Такое применение осуществляется на нескольких уровнях. [1]
Теория категорий начинается с наблюдения, что многие свойства математических систем можно представить просто и единообразно посредством диаграмм, состоящих из стрелок. X, множество Y и правило х н - / х, которое сопоставляет каждому элементу х Е X некоторый элемент fx Е Y. Всюду, где это возможно, мы будем писать / х, а не / ( х), опуская ненужные скобки. [2]
Теория категорий спрашивает о каждом типе математического объекта: Что здесь служит в качестве морфизмов. Однако категорщики обычно называют свои большие категории общим именем их объектов, как например Set, Cat. Только Эресман ( Ehresmann [1965]) и его школа отважились называть каждую категорию общим именем ее стрелок: наша категория Cat - это их категория функторов. Такое внимание к ( го-мо) морфизмам в большой мере восходит к Эмми Нетер, которая широко их использовала в теории групп и колец. [3]
В теории категорий, в частности при определении категории, наряду с множествами элементов приходится иметь дело с классами элементов. [4]
В теории категорий часто встречаются двуместные морфизмы, изображаемые в виде пар изогнутых стрелок-указателей с помещенными на них или рядом с ними метками. [5]
В теории категорий большинство диаграмм имеют общую структуру, напоминающую матрицу, поэтому мы используем команду xymatrix. Поскольку обычно все доступные для набора компонентов этих диаграмм команды не требуются, эффективнее загружать лишь подмножества реально используемых команд. В частности, инструкция UseTwocells определяет команды вида ( cc) twocell. В приведенном выше примере команда rtwocell служит для создания стрелок, указывающих направо. [6]
Язык теории категорий, который используется в этой книге, настолько прост и естествен, что не доставит затруднений даже незнакомому с ним читателю. [7]
Возникновение теории категорий связано с наблюдением, что совокупности всех групп, или всех колец, или всех модулей над фиксированным кольцом, рассматриваемые вместе с соответствующими гомоморфизмами, обладают рядом общих свойств. Уже из этого перечисления видно, что язык теории категорий, в рамках которой формализуется то общее, что имеется в названных теориях, весьма емок. Выяснилось, что он оказывается полезным и во многих других самых разнообразных ситуациях. Подчеркнем, что в отличие от теории универсальных алгебр, теория категорий изучает не отдельные алгебраические ( и не только алгебраические) системы, а совокупность алгебраических систем. Как правило, на языке теории категорий можно выразить те свойства алгебраических систем, в которых не фигурируют отдельные элементы. В настоящей главе излагаются те из основных понятий теории категории, роль которых представляется особенно важной для изучения конкретных алгебраических систем. В качестве основных результатов называем характеризацию категории модулей над кольцом и доказательство эквивалентности категорий модулей над кольцом R и над кольцом матриц над ним. [8]
Аппарат теории категорий может быть использован также для описания систем продукций. [9]
На языке теории категорий данное предложение утверждает, что Нк ( А, ) является ковариантным функтором из категории Л - бимодулей в категорию - модулей. [10]
С применением теории категорий построена достаточно общая теория представления знаний и обучения в системах искусственного интеллекта, охватывающая широкий спектр систем, организованных на локальных принципах. [11]
Введение в теорию категории и функторо. [12]
Другим основным понятием теории категорий является моноид - множество с бинарной операцией умножения, ассоциативной и имеющей единицу; категория сама может рассматриваться как своего рода обобщенный моноид. Его тесная связь с понятием сопряженного функтора позволяет прояснить идеи универсальной алгебры и в итоге приводит к теореме Бека, характеризующей категории алгебр. [13]
С точки зрения теории категорий это означает, что Нот - функтоц двух аргументов, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. [14]
С точки зрения теории категорий FI-кольца и полу - Р1 - кольца представляют собой достаточно простые объекты. С одной стороны, эти кольца являются наследственными и полунаследственными соответственно, с другой стороны, они проективно свободны. [15]