Cтраница 2
Набираются двухэлементные диаграммы из теории категорий, содержащие пары ( помеченных) искривленных стрелок-указателей ( разд. [16]
Одна из главных задач теории категорий состоит в изучении свойств совокупностей математических объектов, таких как множество всех групп или множество всех гомоморфизмов между двумя группами. Сейчас обычно рассматривают группу как множество с некоторой дополнительной структурой, и мы здесь намереваемся рассматривать множества всех множеств с некоторой заданной структурой. Это соответствует признанию принципа выделения: если дано свойство ( р ( х) множеств ж, то можно образовать множество х у ( х) всех множеств х с этим свойством. Однако этот принцип не может быть принят в полной общности, так как он приводит к известным парадоксальным множествам, таким как множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя. [17]
Jtop вытекает, что в теории категорий имеет место принцип двойственности, согласно которому для каждого высказывании исчисления предикатов относительно категорий существует двойственное высказывание. [18]
В итоге все основные понятия теории категорий соединяются в двух последних главах 2), где рассмотрены: более сильные свойства пределов, в особенности фильтрованных пределов; исчисление концевых морфизмов; понятие расширения Кана. [19]
Как мы увидим, эффективность теории категорий в значительной мере основывается на применении категорий с дополнительной аддитивной структурой. [20]
Будем считать, что основные понятия теории категорий известны читателю. [21]
Поскольку категория состоит из стрелок, то теория категорий - это и наука о том, как прожить без элементов, заменив их стрелками. Это направление мысли, присутствуя с самого начала, становится центральным в гл. [22]
В настоящей главе приводятся основные сведения из теории категорий, которыми в дальнейшем будем пользоваться. [23]
Имея в виду приложения универсальной алгебры и теории категорий, выделим, в частности, работы X. Бениаминова, содержащиеся в названном списке. [24]
Однако развитие последних лет показало, что теория категорий, не обязательно абелевых, выкристаллизовывается в самостоятельный раздел; общей алгебры, имеющий многие точки соприкосновения с другими областями математики и, в первую очередь, с топологией. [25]
Основным инструментом исследования отображений различной природы является теория категорий. Известно, что для исследования вероятностных отображений весьма полезной оказывается категория гильбертовых пространств. Настоящая работа посвящена построению категории, которая могла бы играть аналогичную роль для нечетких множеств и нечетких отображений. В основу выбора категории положена возможность решения в ней уравнений определенного вида. [26]
Дальнейшему развитию теории прямых разложений в рамках теории категорий посвящены работы А. Изложение в этих работах ведется на языке полуколец. На этом языке формулируется гипотеза расщепления, играющая основную роль в дальнейшем и обобщающая теоретико-групповую гипотезу расщепления. [27]
В категориях универсальных алгебр произведение в смысле теории категорий совпадает, как легко проверить, с прямым произведением ( см. § 1 гл. Поскольку всякое множество можно рассматривать как алгебру с пустым множеством операций ( или с одной унарной операцией f ( x) x), то то же самое верно и для категории множеств. [28]
В этом разделе мы кратко изложим результаты теории категорий, необходимые нам далее. [29]
Понятие дуальной категории приводит к некоторой двойственности в теории категорий. [30]