Cтраница 2
В настоящей главе понятие теории когомологий несколько обобщается в том отношении, что мы больше не требуем обращения в нуль когомологий точки в размерностях, отличных от нуля. Вводится и используется понятие преобразования одной теории когомологий в другую. Доказываются также некоторые теоремы единственности. [16]
Первые и важнейшие обобщения теории когомологий - К - теория и кобордизмы - были введены ( или, точнее, впервые рассмотрены с этой точки зрения) Атьей в конце 1950 - 60 - х гг. Развитие их методов в дальнейшем позволило значительно усовершенствовать алгебраическую технику топологии: кроме того, в ряде топологических задач А - теория или какой-то вид кобордизмов ( бордизмов) оказываются нередко по своему геометрическому смыслу более естественными для их рассмотрения. Общая аксиоматика экстраординарных гомологии ( когомологий) разработана Дж. [17]
Подобным же образом для каждой теории когомологии может быть построена двойственная теория гомологии. Следовательно, теории гомологии ц когомологии составляют двойственные пары; при этом, преобразование одной теории в другую, с точностью до естественных эквивалентностей, является инволюцией. При переходе к двойственному утверждению группы заменяются их группами характеров, гомоморфизмы меняют направление, подгруппы заменяются факторгруппами, и наоборот. Примерами могут служить сами аксиомы Стинрода - Эйленберга. [18]
Важным инструментом теории расширений служит теория когомологий групп, и мы вкратце опишем ее здесь. [19]
Пусть Л - обыкновенная или экстраординарная теория когомологии. Покажем, что результаты § 2.2 с небольшими изменениями остаются в силе. [20]
Основу нашего подхода к использованию теории когомологий для изучения компактных топологических групп преобразований составляет следующая эквивариантная теория когомологий, предложенная А. [21]
Дальнейшие приложения теоремы 6.2.9 относятся к теории когомологий. [22]
Определим теперь понятие естественного преобразования одной теории когомологий в другую. [23]
Эта гипотеза является формальным следствием существования теории когомологий. Двор-ком [6] методом, не использующим когомологий. Вейлем, была создана А. Artin) доказал обе гипотезы Вейля для гладких проективных многообразий, причем многочлены / - () имели, вообще говоря, целые Z-адические коэффициенты, зависящие от выбора простого I, положенного в основу теории. Предполагается, что на самом деле коэффициенты являются целыми числами, не зависящими от I и вообще от выбора теории когомологий. Это высказывание обычно наз. Наконец, последняя - четвертая гипотеза Вейля относится к нулям а - многочленов P - ( t), рассматриваемым как целые алгебраич. [24]
Правая часть является значением на X некоторой теории когомологий, так как функтор гомоморфизмы Z / n - модулей в Z / n точен. [25]
Он покачал также, что для построения теории когомологий вполне достаточно пользоваться предложенной им канонической вялой резольвентой, к-рая с точки зрения гомологич. [26]
Две леммы Уайтхеда могут быть переформулированы как теоремы теории когомологий алгебр Ли. Исторически эти утверждения были путеводными нитями, приведшими к возникновению теории когомологий. Другим импульсом к развитию этой теории послужило изучение топологии групп Ли, начало чему было положено Картаном. [27]
Следующие два свойства формализуют тот факт, что наша теория когомологий - это теория когомологий с компактными носителями. Пусть X - локально компактное хаусдорфово пространство. [28]
С технической точки зрения нетрудно видеть, что такая эквивариантная теория когомологий не только обладает удобными формальными свойствами, но и эффективно вычислима. [29]
Он был решен лишь в пятидесятых годах с созданием теории когомологий когерентных пучков, когда выяснилось, что при любом k значение Pv ( k) есть альтернированная сумма размерностей некоторых пространств когомологий многообразия V. Аналогичная интерпретация была дана многочленам Гильберта любых конечно порожденных градуированных модулей. [30]