Cтраница 4
Прежде чем начинать систематическое исследование топологических действий компактных связных групп Ли на ациклических когомологических многообразиях с точки зрения теории когомологий, естественно философски осмыслить и проанализировать с технической точки зрения классическую теорию линейных представлений компактных связных групп Ли, созданную в прекрасных и глубоких работах И. Картана о максимальных торах, которая позволяет свести классификацию линейных представлений компактных связных групп Ли к аналогичной задаче для их максимальных торов. Если мы захотим теперь применить опыт, приобретенный при изучении линейного случая, в более общей ситуации топологических групп преобразований, то решающий шаг будет состоять в том, чтобы заменить расщепление линейных действий торов каким-то видом расщепления для топологических действий. Интересно отметить, что так называемый принцип расщепления в теории характеристических классов векторных расслоений использует как раз указанное выше линейное расщепление для получения важного расщепления характеристических классов. В этом параграфе мы покажем, что, хотя о расщеплении топологических действий тора на ациклических многообразиях на геометрическом уровне не может быть и речи, наличие расщепления на уровне характеристических классов действительно можно доказать. [46]
Другое важное свойство / з-адических гомотопических типов заключается в том, что они могут быть построены с помощью гротендиковской теории эталь-ных когомологий в алгебраической геометрии. Длинная пятая глава посвящена изложению этальной теории, которую мы делаем более явной с помощью конструкции Лабкина, аналогичной конструкции Чеха. [47]
Пользуясь этим принципом, можно показывать, что формулы, верные в теории рациональной эквивалентности А, остаются верными в теории когомологий Н, если имеется отображение цикла А - If. Например, ключевая формула для неособых многообразий ( предложение 6.7 ( а)) может быть выражена как равенство соответствий между Y и X. Справедливость этой формулы после умножения диаграммы из § 6.7 на произвольнре Г влечет за. [48]
Тогда функторы H Q ( К) - Н ( Ка) дают эквивари-антную теорию когомологий; здесь Н - произвольная теория когомологий. [49]
В связи с указанными обстоятельствами автор рассматривает в качестве основной не сингулярную теорию, как это обычно принято, а теорию когомологий Александера - Спеньера и дуальных к ним гомологии. В этом состоит одна из особенностей настоящей книги. [50]