Cтраница 1
Теория нелинейных колебаний получила существенное развитие в последние 50 лет. Фундаментальное значение в теории нелинейных колебаний, в частности автоколебаний, принадлежит А. М. Ляпунову и его последователям, к трудам которых мы неоднократно будем обращаться в ходе изложения курса. [1]
Теория нелинейных колебаний, или нелинейная механика, посвящена изучению колебательных движений, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Нелинейная механика дает иногда более точное представление о свойствах колебательных движений механических систем. Как можно было заметить выше, линейные системы получаются в результате упрощения нелинейных. Поэтому изучение линейных систем дает возможность сделать лишь некоторые заключения о свойствах малых движений, однако такое представление может оказаться лишь приближенным. [2]
Теория нелинейных колебаний содержит важную информацию о периодических решениях, возникающих за пределом устойчивости стационарного состояния. [3]
Теория нелинейных колебаний твердых тел, находящихся в потенциальном поле сил, является интенсивно развивающимся разделом современной механики. [4]
В теории нелинейных колебаний известно явление так называемого захватывания или иначе принудительной синхронизации, заключающееся в том, что внешние периодические ьоздей-ствия на автоколебательную систему могут, в известных пределах, изменять частоту и амплитуду автоколебаний. При этом автоколебания происходят с частотой возмущающей силы и с амплитудой, отличной от амплитуды свободных колебаний. [5]
В теории нелинейных колебаний получает более глубокое развитие рассмотрение колебаний динамических систем, позволяющее изучить явления, недоступные линейной теории колебаний. [6]
Для теории нелинейных колебаний теория бифуркаций состояний равновесия и периодических движений представляет интерес не только тем, что облегчает исследование конкретных систем, но и в первую очередь тем, что решает вопрос о характере смены установившегося режима при медленном изменении параметров. Можно напомнить, что именно теория бифуркаций дала математическое описание мягкого и жесткого способов возникновения колебаний в ламповом генераторе и сделала эти понятия одними из основных в теории нелинейных колебаний, а метод точечных отображений позволил решить вопрос о мягком и жестком возбуждении в многомерном случае. Методом точечных отображений была решена и аналогичная задача о возбуждении квазипериодических колебаний в автономной системе и обнаружен случай мягкого удвоения периода автоколебаний ( Ю, И. [7]
В теории нелинейных колебаний как по постановке задач, так и по методам исследования существенным образом различаются так наз. К первым из них относятся такие задачи, в к-рых удается выделить какие-либо малости ( напр. [8]
В теории нелинейных колебаний, небесной механике и других областях естествознания рассматриваются системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянно действующими малыми возмущениями. Второй метод Ляпунова, следуя идеям Г. Н. Дубошина и И. Г. Малкина использования функции Ляпунова для некоторой укороченной системы, является эффективным при исследовании устойчивости движения такого рода систем при новых предположениях об их динамических свойствах. [9]
В теории нелинейных колебаний широко применяется метод малого параметра. Дальнейшее развитие метода связано главным образом с русскими школами и направлениями исследований. [10]
Развитый в теории нелинейных колебаний подход к системам, в которых появляются различные периодические структуры, органически вошел в бурно развивающиеся направления - синергетику. Это направление развивает общий подход к качественным переходам в системах различной природы, которые можно описать с помощью нелинейной динамической топологической теории. [11]
Однако из теории нелинейных колебаний [4, 5] известно, что при данном виде среднего члена амплитуда не зависит от частоты. Такой вывод противоречит физике рассматриваемого процесса, поскольку инерционность стенки обязательно будет приводить к уменьшению амплитуды с ростом частоты. [12]
Боголюбова в теории нелинейных колебаний. [13]
Ляпунова в теории нелинейных колебаний. [14]
Возникший в теории нелинейных колебаний и тесно связанный с методами осреднения Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, этот метод нашел чрезвычайно широкое применение в построении асимптотических решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Для приближенного решения уравнений с частными производными и интегро-дифференциальных он употребляется реже, однако ясно, что в некоторых случаях он должен оказаться эффективнее, чем, например, метод сращивания внешних и внутренних асимптотических разложений. [15]