Cтраница 1
Теория колец и полей может быть полезна и в областях, весьма далеких от абстрактной алгебры. [1]
Развивается теория колец с высшими дифференцированиями. При изучении объектов ненулевой характеристики высшие дифференцирования представляют более сильное средство. Если характеристика дифференциального кольца А равна р, то р-я степень любого элемента является константой, в то время как для колец с высшими дифференцированиями это не так. Для колец с высшими дифференцированиями получены аналоги многих перечисленных выше результатов, касающихся как теории пересечения идеалов, так и теории Галуа. [2]
В теории колец существуют два направления, каждое со своими собственными проблемами и методами, которые хотя и имеют многочисленные точки соприкосновения, но тем не менее не поглощаются друг другом. Одним из этих направлений является теория алгебр; с самого начала своего развития это была теория некоммутативных ( и даже в некоторых случаях неассоциативных) алгебр, но в ней всегда налагались на рассматриваемые кольца жесткие ограничения типа условий конечности, которые лишь постепенно ослаблялись. Например, теория артиновых колец - это довольно устоявшаяся теория, а в то же время теория нете-ровых колец все еще находится в начальной стадии своего развития, и, хотя теория алгебр энергично развивается, понятно, что некоторые условия типа условия максимальности являются существенными для ее развития. [3]
В теории колец большую роль играет понятие изоморфизма. Именно, кольца L и L называются изоморфными, если между ними можно. [4]
Проблемы теории колец, связанные с проблемой Бернсайда м о периодических группах, Изв. [5]
Проблемы теории колец, связанные с проблемой Бернсайда о периодических группах. [6]
Джекобсон, Теория колец, ИЛ, 1947, стр. [7]
В литературе по теории колец простые модули часто называются неприводимыми, а полупростые - вполне приводимыми. По-видимому, в настоящее время проявляется тенденция перехода к прилагательным простой и полупростой. [8]
Первые исследования в теории колец были связаны с описанием строения конечномерных алгебр с единицей над полем. Ясно, что, скажем, правые идеалы таких алгебр удовлетворяют как условию максимальности, так и условию минимальности. Как выяснилось в дальнейшем, эти условия достаточны для получения ряда содержательных теорем о строении колец. [9]
Роль фактор-колец в теории колец совершенно аналогична роли факторгрупп в теории групп. В частности, построение фактор-колец от известных колец представляет собой удобный способ образования колец с самыми различными свойствами. Более того, легко доказывается, например, что произ вольное коммутативное кольцо К изоморфно фактор-кольцу кольца многочленов с целыми рациональными коэффициентами от достаточного числа переменных. [10]
Исключение составляет только теория колец операторов. [11]
В комбинаторных рассуждениях теории колец прежде всего имеют дело со словами, т.е. с записью элементов через образующие. Техника работы со словами использует мономиальные алгебры, в которых определяющие соотношения представляют собой набор слов, равных нулю. Ряд вопросов теории колец, например, изучение рядов Гильберта, сводится к мономиальному случаю. [12]
Изложим сначала элементы теории альтернативных колец. [13]
Большие различия между теорией колец и теорией алгебр возникают, например, если в качестве кольца скаляров берется поле. [14]
Если воспользоваться терминологией из теории некоммутативных колец, то можно сказать, что лемма 1.4 утверждает, что идеал 0 вполне 0-простой полугруппы является первичным. [15]