Cтраница 1
Теория ортогональных многочленов неизменно привлекала и привлекает к себе внимание математиков и физиков всего мира - достаточно указать, что в библиографии по теории ортогональных многочленов Я. Уолша [1], вышедшей в 1940 г., приведено около двух тысяч работ в этой области. Такой интерес к этим вопросам объясняется тем, что система ортогональных многочленов является простейшей - после тригонометрической системы - системой ортогональных функций и поэтому является весьма ценным аппаратом для приближенного представления функций более сложной природы. Во многих случаях разложение функции в ряд ортогональных многочленов возможно при меньших ограничениях, наложенных на нее, чем в случае разложения в ряд Маклорена. [1]
Теория ортогональных многочленов состоит из двух различных по результатам и по методам исследований частей: ортогональность в действительной области и ортогональность в комплексной области. В первом случае имеются в виду алгебраические многочлены с действительными коэффициентами, ортогональные на некотором конечном или бесконечном интервале ( а, Ь) действительной оси. Во втором случае имеются в виду алгебраические многочлены с комплексными коэффициентами, ортогональные либо на единичной окружности z 1, либо на произвольной кривой Г комплексной плоскости, либо по площади некоторой области G, расположенной в комплексной плоскости. В настоящем параграфе рассматривается простейший случай ортогональности в комплексной области - ортогональность по единичной окружности. [2]
Теория ортогональных многочленов возникла в процессе исследования некоторых типов непрерывных дробей, называемых дробями Стил-тьеса. [3]
В теории ортогональных многочленов часто рассматриваются так называемые функции второго рода. [4]
В теории ортогональных многочленов асимптотические свойства функций второго рода обычно рассматриваются одновременно с асимптотическими свойствами ортогональных многочленов. [5]
В теории ортогональных многочленов часто рассматривается так называемая весовая сходимость рядов Фурье по ортогональным многочленам. [6]
В теории ортогональных многочленов случаи ортогональности по бесконечному интервалу являются гораздо более сложными, чем случаи ортогональности по конечному сегменту. Именно поэтому некоторые результаты настоящей главы не полные и не окончательные. Это относится прежде всего к асимптотическим свойствам многочленов Чебышева-Эрмита. Здесь изложены только результаты, которые получаются методом Лиувилля-Стеклова. [7]
В теории ортогональных многочленов двух переменных хорошо известны и подробно изучаются классические ортогональные многочлены Аппеля по двум переменным. Эти многочлены являются наиболее характерным и нестандартным обобщением многочленов Якоби на случай двух переменных. [8]
В теории ортогональных многочленов многочлены Тп ( х) являются самым простым, самым характерным и самым важным классом ортогональных многочленов. [9]
В теории ортогональных многочленов он глубоко исследовал свойства общих и классических ортогональных многочленов. [10]
Стеклова в теории ортогональных многочленов / / Математический анализ. [11]
Как обычно в теории ортогональных многочленов, формулы ( 31) и ( 32) применяются при исследовании условий сходимости рядов Фурье по многочленам Якоби. [12]
В последние десятилетия теория ортогональных многочленов развивается очень интенсивно. [13]
Много статей по теории ортогональных многочленов ежегодно публикуется в журнале Интегральные преобразования и специальные функции, а также в Информационном бюллетене этого журнала. [14]
Аппелем, в теории ортогональных многочленов двух переменных вводится понятие допустимого дифференциального оператора. Поскольку оператор D ( u) однозначно определяет и область ортогональности ( 7, и весовую функцию h ( x y) в ней, то возникает естественная задача нахождения всех таких допустимых операторов, для которых фундаментальные многочлены являются ортогональными или хотя бы биортогональными. Такие многочлены можно рассматривать как обобщение классических ортогональных многочленов Чебышева-Эрмита, Чебышева-Лагерра и общих многочленов Якоби на случай двух переменных. [15]