Cтраница 3
Еще раз заметим, что настоящая книга предназначена для первоначального изучения теории ортогональных многочленов. Поэтому в книге излагаются, конечно, далеко не все вопросы этой теории. [31]
В этой главе мы рассмотрим некоторые задачи теории интерполирования, связанные с теорией ортогональных многочленов. В частности, нас будет интересовать интерполирование с узлами, которые являются нулями ортогональных многочленов рп ( х), ассоциированных с распределением типа da ( x) илиш ( я) йг. Мы будем изучать обыкновенные многочлены Лаг-ранжа и 5-многочлены ( step polynomials), введенные Фейером. Эта тема тесным образом связана с материалом следующей главы, посвященной механическим квадратурам. [32]
В этих работах приводятся сложные контрпримеры в связи с известной проблемой Стеклова в теории ортогональных многочленов при наиболее общих условиях на весовую функцию. [33]
В разделе IX списка литературы указаны семь монографий, в которых рассматриваются применения теории ортогональных многочленов в технических науках. Конечно, список таких книг можно значительно увеличить. Более того, ортогональные многочлены упоминаются даже и в некоторых учебниках по техническим дисциплинам. [34]
Сеге была издана в 1962 г. В дополнениях к русскому изданию Я.Л. Геронимус изложил новые результаты по теории ортогональных многочленов, полученные примерно за двадцать лет. Сеге - научная монография, посвященная общей теории ортогональных многочленов и рассчитанная на специалистов по теории функций. [35]
Объем материала должен быть достаточным для того, чтобы внимательный читатель смог бы начать самостоятельные исследования по теории ортогональных многочленов. [36]
Анализ содержания монографии И.П. Мысовских показывает, что применение ортогональных многочленов при построении кубатурных формул опережает и стимулирует развитие самой теории ортогональных многочленов нескольких переменных. [37]
Во-вторых, в упомянутых дополнительных параграфах для активизации работы читателей сформулированы разные, старые и новые, нерешенные задачи из теории ортогональных многочленов. Возможно, некоторые из этих задач могут оказаться не совсем удачными, например, слишком трудными, или слишком легкими, или даже кем-то и где-то уже рассмотренными. Эти нерешенные задачи могут повысить интерес читателей к отдельным вопросам теории ортогональных многочленов. Разумеется, в некоторых случаях в связи с конкретной нерешенной задачей у читателя может возникнуть необходимость обращаться и к другим работам по математике. Но автор все-таки надеется, что, размышляя над нерешенными задачами, внимательный читатель испытает удовольствие, даже и не получив конкретного результата. [38]
Еще раз заметим, что в настоящей главе изложены только некоторые результаты из теории приближения функций, которые применяются в теории ортогональных многочленов. Дальнейшие результаты по теории приближения функций изложены в монографиях, которые упомянуты в разделе III списка литературы. [39]
Теория ортогональных многочленов неизменно привлекала и привлекает к себе внимание математиков и физиков всего мира - достаточно указать, что в библиографии по теории ортогональных многочленов Я. Уолша [1], вышедшей в 1940 г., приведено около двух тысяч работ в этой области. Такой интерес к этим вопросам объясняется тем, что система ортогональных многочленов является простейшей - после тригонометрической системы - системой ортогональных функций и поэтому является весьма ценным аппаратом для приближенного представления функций более сложной природы. Во многих случаях разложение функции в ряд ортогональных многочленов возможно при меньших ограничениях, наложенных на нее, чем в случае разложения в ряд Маклорена. [40]
Прежде всего заметим, что первоначальные задачи о наилучшем равномерном приближении непрерывных функций многочленами были сформулированы и исследованы великим русским математиком П.Л. Чебышевым, которому принадлежат многие основные результаты в теории ортогональных многочленов и в теории приближения функций. [41]
Сеге [1.6], впервые изданная в 1939 г. Русский перевод этой, вышедший в 1962 г., содержит дополнения Я.Л. Геронимуса, в которых дается подробный обзор всех результатов по теории ортогональных многочленов, полученных примерно за 20 лет. [42]
Сеге ( 1939 г.) ее второе издание является не переработанным, не дополненным, а лишь пересмотренным, как это указывает автор; поэтому нам казалось полезным сделать к нему некоторые дополнения. Эти дополнения посвящены, с одной стороны, работам ( в облдсти теории ортогональных многочленов), опубликованным после 1939 г. - главным образом, хотя и не исключительно, советским работам. [43]
Как указано в схеме, результаты главы XII применяются в нескольких главах книги. В этой главе рассмотрены основные первоначальные результаты из теории приближения функций. Вообще считается, что теория ортогональных многочленов является частью теории приближения функций. Но во многих книгах по теории ортогональных многочленов результаты из теории приближения функций не применяются. В отличие от этих книг в настоящей книге результаты по теории приближения функций систематически применяются для исследования равномерной сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам в случае конечного сегмента ортогональности. [44]
Последние годы наблюдался значительный прогресс в области ортогональных многочленов - предмете, который находится в тесной связи со многими важными областями анализа. Ортогональные многочлены связаны с тригонометрическими, гипергеометрическими, бесселевыми и эллиптическими функциями, с непрерывными дробями и важными проблемами интерполирования и механических квадратур, а также иногда встречаются в теории дифференциальных и интегральных уравнений. Кроме того, мы черпаем в теории ортогональных многочленов сравнительно общие и поучительные иллюстрации некоторых положений теории ортогональных систем. Недавно было показано, что некоторые классы ортогональных многочленов имеют значение для квантовой механики и математической статистики. [45]