Теория - бифуркация
Cтраница 2
Все теоремы теории бифуркаций являются, в сущности, критериями существования той или иной структуры в фазовом пространстве. При этом, поскольку речь идет о проверке условий теорем, а не о прямом моделировании, с помощью ЭВМ можно получать строгие результаты. [16]
Используя метод теории бифуркации [ 211, можно показать, что при В Вс А2 1 задача ( 30) - ( 32) имеет, по крайней мере, одно строго положительное периодическое по t решение, следовательно, эта задача не обладает свойством стабилизации решений. [17]
Связи с теорией бифуркаций пронизывают все естествознание. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых, как правило, неизвестны. Если уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым, то есть поведение его решений может качественно измениться при сколь угодно малом изменении правой части, то необходимо понять, какие бифуркации фазового портрета происходят при изменении параметров. [18]
 |
Предельный цикл системы при а 1, 63. [19] |
В последнее время теория бифуркации дифференциальных уравнений привлекает большой интерес и дает новые возможности для построения математических моделей. В этом параграфе мы рассмотрим одну модель, которая особенно хорошо иллюстрирует характер таких моделей. Эта модель, построенная Решиньо и Де Лизи ( 1977), подробно представлена в обзоре Свана ( 1977); мы здесь дадим только ее краткое описание. [20]
В последние годы в теории бифуркаций наблюдается значительный прогресс, связанный с применением идей и методов общей теории особенностей дифференцируемых отображений X. [21]
Книга заканчивается главой о теории бифуркаций, в которой применяются развитые в предыдущих главах методы и описаны результаты, полученные в этой области, начиная с основополагающих работ А. [22]
Для теории нелинейных колебаний теория бифуркаций состояний равновесия и периодических движений представляет интерес не только тем, что облегчает исследование конкретных систем, но и в первую очередь тем, что решает вопрос о характере смены установившегося режима при медленном изменении параметров. Можно напомнить, что именно теория бифуркаций дала математическое описание мягкого и жесткого способов возникновения колебаний в ламповом генераторе и сделала эти понятия одними из основных в теории нелинейных колебаний, а метод точечных отображений позволил решить вопрос о мягком и жестком возбуждении в многомерном случае. Методом точечных отображений была решена и аналогичная задача о возбуждении квазипериодических колебаний в автономной системе и обнаружен случай мягкого удвоения периода автоколебаний ( Ю, И. [23]
Следующей по сложности задачей теории бифуркаций ( после задачи о перестройке фазовых портретов в окрестности положений равновесия) является задача о перестройках семейства фазовых кривых в окрестности замкнутой фазовой кривой. Эта задача полностью не решена и, по-видимому, в некотором смысле неразрешима. Тем не менее, общие методы теории бифуркаций позволяют получить существенную информацию об этих перестройках; в настоящем параграфе дается краткий обзор основных результатов в этом направлении. [24]
 |
Инвариантный тор Г2. [25] |
Понятие устойчивости решения имеет в теории бифуркаций основополагающее значение. Существует множество разных определений устойчивости, наиболее известными среди которых являются устойчивость по Ляпунову и орбитальная устойчивость. Для стационарных решений устойчивость по Ляпунову и орбитальная устойчивость означают одно и то же. [26]
Особенно полезен этот метод в теории бифуркаций ( см. гл. [27]
Мы рассмотрим несколько центральных идей теории бифуркаций, а в заключение остановимся на нерешенных проблемах. В изложении некоторых результатов мы будем следовать книге [224], большая часть примеров заимствована оттуда же. [28]
Другой активно развивающейся областью исследования является теория бифуркаций, которой занимались многие математики начиная с Пуанкаре. [29]
Для решения этой задачи предложено применить теорию бифуркаций. [30]
Страницы: 1 2 3 4