Cтраница 4
Далее, следует иметь в виду, что абстрактная теория зачастую более проста, нежели ее приложения к конкретным ситуациям. Это замечание касается теории полугрупп операторов, в которой, например, теоремы о порождении полугрупп довольно просты в их абстрактном варианте; однако доказать, что конкретное уравнение в частных производных порождает полугруппу операторов, далеко не просто. И действительно, начинающего читателя озадачат нескончаемые вариации при рассмотрении краевых задач н при определении граничного значения функции. Здесь я предпринял ряд попыток проиллюстрировать на конкретных примерах отношение абстрактной теории к задачам из области уравнении в частных производных; при этом полученные результаты ни в коей мере не претендуют на какую-либо завершенность. [46]
Отметим, что (1.8) есть не что иное, как основное уравнение для процессов со стационарными независимыми приращениями ( гл. Оно тесно связано с теорией полугрупп. В этом контексте 1 выступает в роли производящего оператора. Оказывается, что именно эта теория обеспечивает самый легкий подход к предельным теоремам и безгранично делимым распределениям. [47]
Для изучения марковских процессов эффективным средством является теория полугрупп. [48]
Из условия непрерывности траекторий легко заключить, что функция ф: / - В измерима. Но тогда, как это хорошо известно из теории полугрупп линейных операторов ( см. Данфорд, Шварц [ 40, с. Положив теперь p ( z) p ( i, х2), получим то, что требовалось. [49]
В этой главе мы вводим основные понятия теории полугрупп, необходимые для дальнейшего изложения. Для чтения книги не потребуется знаний никаких результатов теории полугрупп, кроме тех, которые будут приведены. Однако мы предполагаем, что читатель знаком с элементами теории групп в объеме, достаточном для понимания теоремы Жордана-Гельдера и предшествующего ей материала. [50]
VIII были отмечены преимущества трактовки вероятностных распределений как операторов, действующих на непрерывные функции. Преимущества операторного подхода к стохастическим ядрам еще больше, и теория полугрупп приводит к цельной теории марковских процессов, что недостижимо при других методах. [51]