Cтраница 1
Теория полей классов изучает арифметические свойства абелевых расширений полей алгебраических чисел и полей р-адических чисел. Несмотря на очень большое значение основных теорем этой теории, доказательства этих теорем в высшей степени неестественны и мало понятны. Причина этого заключается, видимо, в следующем. [1]
Теория полей классов в высших размерностях описывает группу Галуа максимального абелева расширения полей рациональных функций арифметич. В этом описании роль, к-руго обычно играет мультипликативная группа размерности 1, выполняют группы К [ Мил-нора. [2]
Поскольку теория полей классов дала возможность глубоко изу-относительно абелевы расширения алгебраических полей, предста-весьма заманчивым распространить эту теорию на относительно неабелевы расширения. На этом пути основным затруднением является то, что трудно обобщить понятие идеального класса таким образом, чтобы группа этах классов не была коммутативной. В настоящее время было сдедадо несколько попыток обобщить в этом направлении так называемую доводку. Локальная теория полей классов была строена Шевалле. Она состоит в изучении относительно абелевых рас-шдоний р-адических алгебраических полей. Непосредственная связь е понятием идеального класса здесь теряется, но тем не менее локальная теория строится но законам, аналогичным законам конечной теории, ад имеющим гораздо более простые формулировки. Шевалле даже пользуется результатами локальной теории для построения конечной теория волей классов. [3]
Из теории полей классов следует, что факторы ряда коммутантов групп 5s конечны. [4]
В теории полей классов он является основным объектом изучения. Определение главного класса с помощью ( 3) требует доказательства того, что в поле k такие идеалы на самом деле существуют и что их бесконечно много. Поэтому основная задача теории полей классов состоит в том, чтобы определить главный класс средствами самого поля k, из к-рого бы следовала его бесконечность. [5]
В частности, теория полей классов, решающая эту задачу, может быть обоснована ( см. [12]), исходя из закона взаимности Шафаревйча. [6]
Вполне доступное изложение теории полей классов полей алгебраических чисел имеется в книге [56] Ленга. Теорему 18.5 можно легко получить, используя строение некоторых групп когомологий. Всякий, кто хорошо знаком с теорией полей классов, сможет легко разобрать доказательство теоремы Грюнвальда - Ванга, изложенное в книге Артина и Тейта; большинство других доказательств этого результата менее прозрачно. [7]
Тогда deter соответствует ( по теории полей классов ] центральному характеру представления тг. [8]
В случае полей алгебраических чисел теория полей классов не только описывает группу Ga ( Kab / K), но ввиду арифметического характера этого описания, позволяет детально изучить арифметику абелевых расширений К / К: законы разложения простых дивизоров поля К в поле К1 и законы взаимности. [9]
Ленглендса, так же как и теория полей классов, которую она обобщает, должна применяться ко всем глобальным полям. [10]
Для более подробного ознакомления с идеями теории полей классов необходимо общее понятие группы классов идеалов. Приведенное выше определение Куммера соответствует современному понятию абсолютной группы классов идеалов. [11]
Образцом для всех будущих теорий здесь служит теория полей классов, которая исчерпывающим образом описывает все абелевы ( имеющие коммутативную группу Галуа) расширения фиксированного поля алгебраических чисел. В области расширений с неабе-левой группой Галуа наши знания очень далеки от такой полноты. Часто неясно даже, как следует ставить вопросы и в каких терминах искать их решение. [12]
Здесь имеется в виду отсутствие неабелева обобщения теории полей классов. Ленглендса), эта проблема в алгебре остается нерешенной. Наиболее глубоким имеющимся результатом является решение И.Р. Шафареви-чем в 1954 г. задачи, обратной задаче теории Галуа для разрешимых групп. [13]
Hilbert) восходит совершенно новая точка зрения на теорию полей классов, к-рая сохранилась до настоящего времени. Он понял, что между всеми относительно абелевыми расширениями поля k и всеми полями классов для этого поля должно существовать взаимно однозначное соответствие. Это соответствие выглядит так. [14]
В числовом случае приходится обходиться другими средствами - теорией полей классов. В теории полей классов строят так называемые - башни Голода-Шафаревича. [15]