Cтраница 3
Предлагаемая в настоящей статье конструкция символа норменного вычета дает его чисто р-адическое определение. Она открывает, таким образом, возможность более естественного построения теории полей классов. [31]
К ] при помощи образующих и соотношений, похожее, например, на задание фундаментальной группы трехмерного многообразия. Чего, однако, явно не хватает - это конкретного описания таких групп, какое дается в коммутативном случае теорией якобианов и теорией полей классов. [32]
Как известно, если башня полей классов поля k бесконечна, то поле k нельзя вложить в одноклассное поле алгебраических чисел. Действительно, если бы К D k было одноклассным конечным расширением, то поле К К / К было бы абелевым неразветвленным расширением поля К, а так как К одноклассное, то К К, согласно теории полей классов, должно было бы совпадать с К. Аналогично и все К С К, а это означало бы, что башня полей классов поля k конечна. [33]
Артин и Несбитт доказали, что если для поля F имеет место формула произведения, то оно изоморфно либо полю алгебраических чисел, либо полю алгебраических функций. Поля из объединения этих классов полей называются глобальными полями. Основные результаты теории полей классов справедливы для всех глобальных полей. Все результаты, о которых будет идти речь в нескольких последующих параграфах, обобщаются на глобальные поля. Это утверждение становится совсем очевидным, если считать установленным то, что теория полей классов применима ко всем глобальным полям. [34]
В теории полей классов он является основным объектом изучения. Определение главного класса с помощью ( 3) требует доказательства того, что в поле k такие идеалы на самом деле существуют и что их бесконечно много. Поэтому основная задача теории полей классов состоит в том, чтобы определить главный класс средствами самого поля k, из к-рого бы следовала его бесконечность. [35]
Последний поставил себе задачу построить теорию полей классов, не пользуясь трансцендентными средствами ( теорией С-функций), при помощи которых доказывалось существование простых идеалов, удовлетворяющих тем или иным условиям. Пользование трансцендентными средствами лишает решение эффективности. Для достижения этой цели Шевалле широко пользуется локальной теорией полей классов. В частности, он предлагает новое понятие иделя, который представляет собой совокупность, определенных / ьадических разложений по всем простым р независимо of того, соответствует этой совокупности элемент поля или нет. [36]
Вполне доступное изложение теории полей классов полей алгебраических чисел имеется в книге [56] Ленга. Теорему 18.5 можно легко получить, используя строение некоторых групп когомологий. Всякий, кто хорошо знаком с теорией полей классов, сможет легко разобрать доказательство теоремы Грюнвальда - Ванга, изложенное в книге Артина и Тейта; большинство других доказательств этого результата менее прозрачно. [37]
В этой работе исследуются алгебраические расширения K / k поля алгебраических чисел А; с заданными точками ветвления. Такая постановка вопроса подсказывается аналогией с теорией римано-вых поверхностей. Расширения с коммутативной группой Галуа рассматриваются в теории полей классов. Мы рассматриваем расширения, группы Галуа которых являются / - группами, т.е. имеют порядок вида / Q, где / - некоторое фиксированное простое число. [38]
К С KS, которое является, очевидно, максимальным абелевым расширением периода / поля k, разветвленным только в простых дивизорах р Е S. Ввиду этого, определение числа d ( S) сводится к вопросу об абелевых расширениях. Этот вопрос может быть решен на основании теории полей классов при помощи стандартных рассуждений. [39]
Поле К ( Еп) во многом аналогично полю деления круга на п частей. Оно явно описывается, однако, вообще говоря, является уже неабелевым над К. Этот пример является исходным пунктом большой серии примеров, приводящих к некоммутативным обобщениям теории полей классов. [40]
Основная теорема тесно связана с одним из глубоких результатов теории полей классов - теоремой Хассе о нормах. Как мы покажем ниже, основную теорему довольно легко вывести из теоремы о нормах. С другой стороны, теорема о нормах является по существу утверждением о тривиальности некоторой группы когомологий fe теории полей классов, а тривиальность этой группы когомологий есть простое следствие основной теоремы. [41]
Теория полей классов, первоначально относящаяся к алгебраич. Особенно близкая аналогия существует между нолями алгебраич. [42]
После этого в теории полей классов утвердился локально глобальный принцип. [43]
Артин и Несбитт доказали, что если для поля F имеет место формула произведения, то оно изоморфно либо полю алгебраических чисел, либо полю алгебраических функций. Поля из объединения этих классов полей называются глобальными полями. Основные результаты теории полей классов справедливы для всех глобальных полей. Все результаты, о которых будет идти речь в нескольких последующих параграфах, обобщаются на глобальные поля. Это утверждение становится совсем очевидным, если считать установленным то, что теория полей классов применима ко всем глобальным полям. [44]
Параллельно с теорией алгебраич. Особенно отчетливо эта аналогия проступает в том случае, когда в качестве алгебраич. Хорошей иллюстрацией тому служат такие понятия как дивизоры, ветвление и такие результаты как теория полей классов. Проникновение этой точки зрения в теорию диофантовых уравнений произошло позднее, и систематич. [45]