Теория - первый порядок
Cтраница 3
Меньшее общее расщепление в кубическом поле делает использование LS-связи в теории кристаллического поля худшим приближением, и это приводит к большим расщеплениям основных состояний во втором порядке ( - X3 / 10D7) и к большим отклонениям ( - h / QDq) в значениях - факторов от значений, даваемых теорией первого порядка. [31]
Теорема 8.7. Для любого множества замкнутых формул А авто-эпистемической логики имеется эффективно конструктивная теория с умолчаниями ( D, F ] и обратно, для каждой теории с умолчаниями ( - D F) имеется эффективно конструктивное множество замкнутых формул А автоэпистемической логики такое, что Е является расширением теории с умолчаниями тогда и только тогда, когда оно является подмножеством теории первого порядка для расширений, строго основанных на А. [32]
Теория первого порядка Т называется m - категоричной, если Т имеет хотя бы одну модель мощности m и любые две ее модели мощности m изоморфны. [33]
Теория Т ( 1) называется элементарной теорией интерпретации I. К теориям первого порядка применимо понятие непротиворечивости, введенное нами для произвольных множеств формул. Из теоремы 12 следует, что если теория противоречива, то она содержит все замкнутые формулы данной сигнатуры. Из теоремы 13 непосредственно вытекает, что теория Т непротиворечива тогда и только тогда, когда любое конечное множество ACT непротиворечиво. [34]
Основная цель этого параграфа - показать, что в некотором смысле разница между открытыми теориями и произвольными теориями не существенна. А именно, каждая теория первого порядка может быть превращена в открытую теорию добавлением некоторого множества новых функторов и заменой аксиом открытыми формулами, выражающими, грубо говоря, то же самое математическое содержание. [35]
Первое предположение означает, что в степенном разложении в разд. Поэтому параксиальную теорию иногда называют теорией первого порядка. [36]
В заключение отметим, что рассмотрение, проведенное здесь, действительно только для параксиального приближения. Если используется более широкий пучок, теория первого порядка неадекватна и необходимо принимать во внимание абберрации ( см. разд. [37]
Перед тем, как уточнить понятие теории первого порядка по всем правилам, к которым мы пытаемся приучить читателя, предварительно скажем еще несколько слов. В большинстве теорий, которые могут быть аксиоматизированы как теории первого порядка, используется понятие равенства. Мы покажем сейчас, каким образом теория равенства присоединяется к чистому исчислению предикатов. Согласно интуитивному пониманию, соотношение х у означает, что х и у-это один и тот же предмет или что ш и у суть имена одного и того же предмета. Оказывается, свойства симметричности и транзитивности равенства можно вывести из подстановочного свойства и рефлексивности. Мы установим это, представив в виде аксиоматической теории исчисление предикатов первого порядка с равенством. [38]
Открытые теории обладают многими специальными свойствами, отсутствующими у произвольных теорий. В известном смысле они являются самыми простыми и регулярными среди теорий первого порядка. В § 15 мы, например, видели, что фундаментальная теорема 15.4 о существовании семантических моделей для открытых теорий доказывается гораздо проще, чем общая теорема 9.3 о существовании семантических моделей для произвольных теорий. В § § 23, 26 мы приведем еще некоторые особенности, характерные только для открытых теорий. [39]
Рассматривая прохождение параксиальных лучей через электронные линзы, мы установили, что пучки лучей, исходящих из одной точки объекта, сходятся в точности в одной точке изображения ( стигматические пучки лучей) и что плоскому объекту соответствует неискаженное плоское изображение. Теорию, принимающую во внимание только параксиальные лучи, называют теорией первого порядка или, заимствуя название из оптики, гауссовой электронной оптикой. Надо сказать, что теория первого порядка часто хорошо оправдывается: опыт показывает, что электронные линзы действительно могут давать отчетливое, малоискаженное изображение. Тем не менее при тщательном исследовании обнаруживаются отступления от простых законов теории первого порядка, приводящие к искажениям изображения или аберрациям. Аберрации имеют первостепенное значение в вопросах качества изображения и разрешающей силы электроннооптиче-ских приборов. Как и в оптике, исследование аберраций требует очень громоздких и утомительных вычислений, так что мы вынуждены здесь ограничиться немногими замечаниями. [40]
Весьма эффективный при решении проблемы тождества слов метод переписывающих правил в значительной степени игнорировался специалистами в области доказательства теорем из-за относительно малой сферы его применения. Было бы желательно поэтому обобщить эту идею так, чтобы можно было работать с теориями первого порядка. Для достижения этой цели нам нужна каноническая система для логических связок, булевой алгебры и полная стратегия для исчисления предикатов первого порядка. [41]
Кроме того, в некоторых экспериментах по внерезонансному облучению проявляются эффекты второго порядка, приводящие к расщеплениям линий, которые не могут быть интерпретированы в рамках теории первого порядка. [43]
 |
Поверхности лучшего фокуса, иллюстрирующие астигматизм линзы.| Сферическая аберрация.| Подушкообразное и бочкообразное искажения изображения, создаваемые системой линз. [44] |
Эта теория известна как приближение первого порядка. Отступление действительного изображения от этой теории называется аберрацией. В 1855 г. теория первого порядка была расширена включением условий третьего порядка. Теория третьего порядка содержит пять условий, которые следует применять для теории первого порядка. Когда нет никаких аберраций и монохроматический свет проходит через оптическую систему, сумма этих пяти условий равна нулю. Таким образом, указанная сумма обеспечивает логическую классификацию для пяти монохроматических аберраций. Кроме того, два вида хроматических аберраций могут произойти из-за различий между индексом и длиной волны. Пятью монохроматическими аберрациями являются: сферическая абберация, несимметричная аберрация, астигматизм, кривизна поля и дисторсия. [45]
Страницы: 1 2 3 4